高考数学 考点18 正弦定理与余弦定理试题解读与变式-人教版高三全册数学试题VIP免费

考点18：正弦定理与余弦定理【考纲要求】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。【命题规律】对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题．今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用．题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题．【典型高考试题变式】（一）正弦定理的应用例1【2017新课标2】的内角的对边分别为,若,则＿＿＿＿＿＿．【答案】【解析】由正弦定理可得．因为，所以，所以．【方法技巧归纳】正弦定理的应用技巧：（1）求边：利用公式或其他相应变形公式求解；（2）求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式或其他相应变形公式求解；（3）相同的元素归到等号的一边：即，可应用这些公式解决边或角的比例关系问题．【变式1】【例题条件由边和余弦等式给出改变为由边和正弦等式给出，所求没改变】在中，若，则为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由正弦定理，得．因为，所以，则为或，故选C．【变式2】【例题条件由边和余弦等式给出改变为由边和正弦及余弦混合等式给出，所求没改变】在,内角所对的边长分别为且,则（）A．B．C．D．【答案】A（二）余弦定理的应用例2．【2017新课标Ⅰ】的内角的对边分别为．已知，，，则＿＿＿＿＿＿．A．B．C．2D．3【答案】D【解析】由余弦定理得，解得或（舍去），故选D．【方法技巧归纳】利用余弦定理解三角形主要途径：（1）余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”；（2）已知三边及一角求另两角的两种方法：①利用余弦定理的推论求解，虽然运算较复杂，但较直接；②利用正弦定理求解，虽然比较方便，但需注意角的范围，这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判断．【变式1】【例题中的条件的相关数据作了改变，另外给出了两边的大小关系，在命题方式基本没有改变】设中，角所对的边分别为，若，，，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，根据余弦定理，得，即，解得或，又，所以，故选B．【变式2】【例题中的非特殊角改变为特殊解，其它的没有改变】的内角的对边分别为，若，则边等于（）A．B．C．D.2【答案】C【解析】根据题意中给定了两边以及一边的对角可知那么结合余弦定理可知，故选C．（三）三角形面积公式的应用例3【2013新课标2】的内角的对边分别为,已知，，C=，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【方法技巧归纳】（1）由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；（2）如果已知两边及其夹角可以直接求面积，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．【变式1】【将例题中的已知两角一边改变为两边一角，所求问题没改变】在中，角的对边分别是，已知，则，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理，又，且，所以，所以，所以的面积为＝＝，故选B．【变式2】【例题中的两个角改为两个角的关系、所求由求面积改变为了求面积最值】在中，角的对边分别为，已知，，则面积的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B（四）正、余弦定理的综合的应用例4【2017新课标1】的内角的对边分别为，已知△ABC的面积为．（1）求；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）.【解析】（1）由题设得，即.由正弦定理得，故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为．【方法技巧归纳】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都...