限时规范训练空间向量与立体几何\a\al(限时45分钟，实际用时一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2017·山东青岛模拟)已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.解析：选A.如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，则O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，－1,0)，B1(，0,2)，则AB1＝(，1,2)，则BO＝(－，0,0)为侧面ACC1A1的法向量，故sinθ＝＝＝.2．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝2，二面角BAA1C1的大小为60°，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为()A.B.C.D．2解析：选A.由题意可知，∠BAC＝60°，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，所以在三角形ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，则AB1·BC1＝(BB1－BA)·(BB1＋BC)＝4，|AB1|＝2，|BC1|＝4，cos〈AB1，BC1〉＝＝，故tan〈AB1，BC1〉＝.3．如图所示，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA＝BC＝2，AB＝4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为()A．－B．－C.D.解析：选D.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC.过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(4,0,0)，C(4，－2,0)．因为D为PB的中点，所以D(2,0,1)．故CP＝(－4,2,2)，AD＝(2,0,1)．所以cos〈AD，CP〉＝＝＝－.设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈AD，CP〉|＝.4．(2017·山西四市联考)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，)．若S1，S2，S3分别是三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1解析：选D.如图所示，△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影，所以S1＝×2×2＝2.三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DEF(E，F分别为OA，BC的中点)全等，所以S2＝×2×＝.三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G，H分别为AB，OC的中点)全等，所以S3＝×2×＝.所以S2＝S3且S1≠S3，故选D.5．如图，点E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN的条数有()A．0条B．1条C．2条D．无数条解析：选B.假设存在满足条件的直线MN，如图，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则D1(2,0,2)，E(1,2,0)，设M(x，y，z)，D1M＝mD1E(0＜m＜1)，∴(x－2，y，z－2)＝m(－1,2，－2)，x＝2－m，y＝2m，z＝2－2m，∴M(2－m,2m,2－2m)，同理，若设C1N＝nC1F(0＜n＜1)，可得N(2n,2n,2－n)，MN＝(m＋2n－2,2n－2m,2m－n)．又 MN⊥平面ABCD.∴解得即存在满足条件的直线MN，且只有一条．6．(2017·安徽合肥模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：①异面直线C1P和CB1所成的角为定值；②二面角PBC1D的大小为定值；③三棱锥DBPC1的体积为定值；④直线CP与平面ABC1D1所成的角为定值．其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)．设P(t,0,1－t)，0≤t≤1.①中，C1P＝(t，－1，－t)，CB1＝(1,0,1)，因为C1P·CB1＝0，所以C1P⊥CB1，故①对；②中，因为D1A∥C1B，所以平面PBC1即平面ABC1D1，两平面都固定，所以其二面角为定值，故②对；③中，因为点P到直线BC1的距离AB＝1，所以V三棱锥DBPC1＝××CB1＝，故③对；④中，CP＝(t，－1,1－t)，易知平面ABC1D1的一个法向量为CB1＝(1,0,1)，所以cos〈CP，CB1〉不是定值，故④错误．二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2017·江苏南京三模)如图，三棱锥ABCD的棱长全相等，点E为AD的中点，则直线CE与BD所成角的余弦值为________．解析：设AB＝1，则CE·BD＝(AE－AC)·(AD－AB)＝·(AD－AB)＝AD2－AD·AB－AC·AD＋AC·AB＝－cos60°－cos60°＋cos60°＝.∴cos〈CE，BD〉＝＝＝....
