第4课时余弦定理、正弦定理应用举例课后篇巩固提升基础达标练1.如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是()A.角A,B和边ACB.角A,B和边BCC.边BC,AC和角CD.边BC,AC和角A解析根据正弦定理,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D.答案D2.如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12m,借助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为()A.6(3+)mB.6(3-)mC.6(3+2)mD.6(3-2)m解析由⇒AB=AD+BD=CD=12⇒CD=6(3-)m,故选B.答案B3.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别是β,α(α<β),则点A离地面的高度AB等于()A.B.C.D.解析在△ADC中,∠DAC=β-α.由正弦定理,得,∴AC=,∴AB=ACsinβ=.答案A4.一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,且与它相距8nmile,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,则此船的航速是()A.8()nmile/hB.8()nmile/hC.16()nmile/hD.16()nmile/h解析由题意,得在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°.由正弦定理,得,即,解得AB=8(),故此船的航速为=16()(nmile/h).答案D5.如图,地平面上有一根旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上取一基线AB,AB=20m,在A处测得点P的仰角∠OAP=30°,在B处测得点P的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,则旗杆的高度为()A.20()mB.mC.mD.10()m解析由已知,得AO=h,BO=h,则在△ABO中,由余弦定理,得AB2=AO2+BO2-2AO·BO·cos60°,即400=3h2+h2-h2,解得h=(m).答案C6.如图所示,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20nmile的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cosθ等于()A.B.C.D.解析在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,所以BC=20.由正弦定理,得sin∠ACB=·sin∠BAC=.由∠BAC=120°,得∠ACB为锐角,故cos∠ACB=.故cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=.答案B7.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处,然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处,若A处与C处的距离为nmile,则x的值为.解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB,即x2+9-2·x·3cos30°=()2,即x2-3x+6=0,解得x=2或x=.答案或28.已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10nmile,甲船以4nmile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6nmile/h的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是h.解析如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为th,距离为snmile,此时甲船到达C处,则甲船距离B岛(10-4t)nmile,乙船距离B岛6tnmile,所以由余弦定理,得cos120°==-,化简,得s2=28t2-20t+100,所以当t=时,s2取最小值,即当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是h.答案9.某人见一建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西70°方向行走了3km后到达C,则见A在其北偏东56°方向上,B在其北偏东74°方向上,试求这两个建筑物间的距离.解如图,在△BCO中,∠BOC=70°-30°=40°,∠BCO=(180°-70°)-74°=36°,∴∠CBO=180°-40°-36°=104°. OC=3,由正弦定理,得,则BO=.在△ACO中,∠AOC=70°,∠CAO=56°,则∠ACO=54°.由正弦定理,得,则AO=.在△ABO中,由余弦定理,得AB=≈1.630(km)=1630(m).故这两个建筑物间的距离约为1630m.能力提升练1.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100m到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若CD=50m,山坡的坡角为θ,则cosθ=()A.B.-1C.2-D.解析在△ABC中,由正弦定理,得BC==50()(m).在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BDC=-1.由题图知cosθ=sin∠ADE=sin∠BDC=-1,故选B.答案B2.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°,且两条船与炮台底部的连线成30°角,则两条船之间的距离为m.解析设炮台顶部为A,两条船分别为B,C,炮台底部为D(如图),则∠BAD=45°...
