第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程A级基础巩固一、选择题1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.B.C.D．(，0)解析：将双曲线方程化成标准方程为－＝1，所以a2＝1，b2＝，所以c＝＝，故其右焦点坐标为.答案：C2．若方程＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是()A．(5，10)B．(－∞，5)C．(10，＋∞)D．(－∞，5)∪(10，＋∞)解析：由题意得(10－k)(5－k)<0，解得50，b>0)，则a2＋b2＝5.①因为线段PF1的中点坐标为(0，2)，所以点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，得－＝1.②由①②解得a2＝1，b2＝4，所以所求双曲线的方程为x2－＝1.答案：B5．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为()A．5B．5＋4C．7D．9解析：如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4，0)．1由双曲线的定义及标准方程，得|PF|－|PE|＝4，则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当A，P，E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而|PF|＋|PA|的最小值为9.答案：D二、填空题6．设m是大于0的常数，若点F(0，5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________．解析：由题意可知m＋9＝25，所以m＝16.答案：167．双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则点P到F2的距离为________．解析：因为||PF2|－12|＝2a＝10，所以|PF2|＝12±10，即|PF2|＝2或|PF2|＝22.答案：2或228．若双曲线x2－4y2＝4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B两点，若|AB|＝5，则△AF1B的周长为________．解析：由双曲线定义可知|AF1|＝2a＋|AF2|＝4＋|AF2|；|BF1|＝2a＋|BF2|＝4＋|BF2|，所以|AF1|＋|BF1|＝8＋|AF2|＋|BF2|＝8＋|AB|＝13.△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝18.答案：18三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；(2)经过两点(3，－4)，；(3)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.解：(1)由题意得双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．因为a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，代入方程得，所以b2＝16.所以所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，把(3，－4)，代入得解得所以所求双曲线的标准方程为－＝1.(3)椭圆＋＝1的两个焦点坐标分别为F1(0，－3)，F2(0，3)．由已知得双曲线与椭圆的交点坐标为(±，4)，2设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得a2＝4，b2＝5.所以所求双曲线的标准方程为－＝1.10．已知k为实常数，命题p：方程(k－1)x2＋(2k－1)y2＝(2k－1)(k－1)表示椭圆，命题q：方程(k－3)x2＋4y2＝4(k－3)表示双曲线．(1)若命题p为真命题，求实数k的取值范围；(2)若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数k的取值范围．解：(1)若命题p为真命题，则解得k＞1，即实数k的取值范围是(1，＋∞)．(2)当p真q假时，解得k≥3，当p假q真时，解得k≤1，故实数k的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．B级能力提升1．k＜2是方程＋＝1表示双曲线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：k＜2⇒方程＋＝1表示双曲线，而方程＋＝1表示双曲线⇒(4－k)(k－2)＜0⇒k＜2或k＞4，故k＜2是方程＋＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：A2．已知双曲线－＝1上一点P到F(3，0)的距离为6，O为坐标原点，若OQ＝(OP＋OF)，则|OQ|的值为________．解析：由题意得Q为PF的中点，设左焦点为F′，其坐标为(－3，0)，所以|OQ|＝|PF′|.若P在双曲线的左支上，则|OQ|＝|PF′|＝(|PF|－2a)＝×(6－2×2)＝1；若P在双曲线的右支上，则|OQ|＝|PF...
