第二讲立体几何中的综合问题1．(2019·江苏二模)如图，在三棱锥ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1，BC的中点．求证：(1)DE∥平面ACC1A1；(2)AE⊥平面BCC1B1.证明：(1)连接A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1，且AA1＝BB1，∴四边形AA1B1B是平行四边形，又 D是AB1的中点，∴D是BA1的中点，在△BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，∴DE∥A1C， DE⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，∴DE∥平面ACC1A1.(2) A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，又由(1)知DE∥A1C，∴BC1⊥DE.又AB1∩DE＝D，∴BC1⊥平面ADE， AE⊂平面ADE，∴AE⊥BC1，在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中点，∴AE⊥BC， BC1∩BC＝B，∴AE⊥平面BCC1B1.2．(2019·呼和浩特一模)如图，平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2，沿BD折起，使AC＝2.(1)证明：△ACD为直角三角形；(2)设B在平面ACD内的射影为P，求四面体PBCD的体积．解析：(1)证明：在Rt△ABD中，AB⊥BD，AB＝2，BD＝2，∴AD＝＝＝2， AC＝2，CD＝2，∴AC2＋CD2＝AD2，∴AC⊥CD，∴△ACD是直角三角形．(2)由(1)知CD⊥AC，CD⊥BC， AC∩BC＝C，∴CD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD，其交线为AC，故过B点作AC的垂线，垂足为P，点P即为B在平面BCD内的射影，P为AC的中点，∴四面体PBCD的体积：VPBCD＝××2×2×1＝.3．(2019·内蒙古一模)如图所示，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AD＝PD，E、F分别是CD、PB的中点．(1)求证：EF⊥平面PAB；(2)设AB＝BC＝3，求三棱锥PAEF的体积．解析：(1)证明： PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD＝AD，底面ABCD是矩形，BA⊥AD，∴BA⊥平面PAD，则平面PBA⊥平面PAD， AD＝PD，取PA的中点G，连接FG，DG，则DG⊥PA，∴DG⊥平面PAB.又E、F分别是CD、PB的中点，G是PA的中点，底面ABCD是矩形，∴四边形EFGD为矩形，则DG∥EF，∴EF⊥平面PAB.(2)由AB＝BC＝3，得BC＝，AB＝3，AD＝AP＝，且F是PB的中点．∴VPAEF＝VBAEF＝VFABE＝VPABE＝·S△ABE·PD＝×××3××＝.4．(2019·成都模拟)如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB，CD的中点，CD＝2AB＝2EF＝4，M为DF中点．现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC⊥平面AEFD，得到如图②所示的多面体．在图②中，(1)证明：EF⊥MC；(2)求三棱锥MABD的体积．解析：(1)证明：由题意，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD， E，F分别为AB，CD的中点，∴EF⊥AB，EF⊥CD，∴折叠后，EF⊥DF，EF⊥CF， DF∩CF＝F，∴EF⊥平面DCF，又MC⊂平面DCF，∴EF⊥MC.(2)由已知可得，AE＝BE＝1，DF＝CF＝2， DM＝1，∴MF＝1＝AE，又AE∥MF，∴四边形AEFM为平行四边形，∴AM∥EF，故AM⊥DF. 平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD＝EF，且BE⊥EF，∴BE⊥平面AEFD，∴VMABD＝VBAMD＝S△AMD·BE＝××1×2×1＝.即三棱锥MABD的体积为.5．(2019·兰州模拟)如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△PCD为正三角形，∠BAD＝30°，AD＝4，AB＝2，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．(1)证明：BE⊥PC；(2)求多面体PABED的体积．解析：(1)证明： BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝4，∴BD＝2，∴∠ABD＝90°，∴BD⊥CD， 平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴BD⊥平面PCD，∴BD⊥PC， △PCD是正三角形，E为PC的中点，∴DE⊥PC，∴PC⊥平面BDE，∴BE⊥PC.(2)作PF⊥CD，EG⊥CD，F，G为垂足， 平面PCD⊥平面ABCD，∴PF⊥平面ABCD，EG⊥平面ABCD， △PCD是正三角形，CD＝2，∴PF＝3，EG＝，∴VPABCD＝×2×2×3＝4，VEBCD＝××2×2×＝，∴多面体PABED的体积V＝VPABCD－VEBCD＝4－＝3.6．(2019·汕尾一模)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝AC＝2AA1＝2，D是BC的中点．(1)证明：A1B∥平面ADC1；(2)线段BC1是否存在点N，使三棱锥NADC1的体积为？若存在，确定点N的位置；若不存在，说明理由．解析：(1)证明：如图，连接A1C，与AC1交于点O，连接OD，在△CA1B中，O和D分别是CA1和CB的中点，则OD∥A1B，又OD⊂平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.(2)连接BC1，假设线段BC1上存在点N，使得三棱锥NADC1的体积为，设N到平面ADC1的距离为h，由题...
