2017高考数学一轮复习第七章立体几何第7讲立体几何中的向量方法(理)习题A组基础巩固一、选择题1．(2015·山西临汾一模)如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是()A．90°B．60°C．45°D．30°[答案]B[解析]将其还原成正方体ABCD－PQRS，显然PB∥SC，△ACS为正三角形，∴∠ACS＝60°.2．若正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A.B．C.D．[答案]B[解析]间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D⊥平面ACD，∴B1D⊥DC，故△B1DC为直角三角形，设棱长为1，则有AD＝，B1D＝，DC＝，∴S△B1DC＝××＝.设A到平面B1DC的距离为h，则有VA－B1DC＝VB1－ADC，∴×h×S△B1DC＝×B1D×S△ADC.∴×h×＝××，∴h＝.设直线AD与平面B1DC所成的角为θ，则sinθ＝＝.向量法：如图，取AC的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系．设各棱长为2，则有A(0，－1,0)，D(0,0,2)，C(0,1,0)，B1(，0,2)．设n＝(x，y，z)为平面B1CD的法向量，则有⇒⇒n＝(0,2,1)．∴sin〈AD，n〉＝＝.3．(2015·皖南八校联考)四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角V－AB－C的余弦值的大小为()A.B．C.D．[答案]B[解析]如图所示，取AB中点E，过V作底面的垂线，垂足为O，连接OE，根据题意可知，∠VEO是二面角V－AB－C的平面角，因为OE＝1，VE＝＝2，所以cos∠VEO＝＝＝，故选B.4．(2015·沈阳模拟)在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是()A.aB．aC.aD．a[答案]A[解析]以A为原点，AB、AD、AA1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系；A1(0,0，a)，M(0,0，)，B(a,0,0)，D(0，a,0)，BD＝(－a，a,0)，BM＝(－a,0，)设平面BDM的法向量n＝(x，y，z)，则，设x＝1，∴∴n＝(1,1,2)．MA1＝(0,0，)，则点A1到平面MBD的距离d＝＝a，故选A.5．如图所示三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，D点在棱AA1上，AD＝2DA1，点P在棱C1C上，则PD·PB1的最小值为()A.B．－C.D．－[答案]B[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，则D(1,0,2)，B1(0,1,3)，设P(0,0，z)，则PD＝(1,0,2－z)，PB1＝(0,1,3－z)，∴PD·PB1＝0＋0＋(2－z)(3－z)＝(z－)2－，故当z＝时，PD·PB1取得最小值为－.6．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]B[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)由题意得，AD⊥平面ABP，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，又 CD⊥平面PAD，∴AE⊥CD，又PD∩CD＝D，∴AE⊥平面CDP.∴AD＝(0,1,0)和AE＝(0，，)分别是平面ABP和平面CDP的法向量，而〈AD，AE〉＝45°，∴平面ABP与平面CDP所成的二面角为45°.二、填空题7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为____________________.[答案][解析]建立坐标系如图．则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)．BC1＝(－1,0,2)，AE＝(－1,2,1)，cos〈BC1，AE〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线DE与平面A1BC1的夹角的正弦值为____________________.[答案][解析]设正方体的棱长为2，直线DE与平面A1BC1的夹角为α，建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0)，E(0,2,1)，B1(2,2,2)， DB1⊥平面A1BC1，∴DB1＝(2,2,2)是平面A1BC1的法向量， DE＝(0,2,1)，∴sinα＝cos〈DB1，DE〉＝＝.9．已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1；则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于____________________.[答案][解析]延长FE，CB相交于点G，连接AG，设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，作BH⊥AG于点H，连接EH，则∠EHB为所求二面角的平面角． BH＝，EB＝1，∴tan∠EHB＝＝.10．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离...
