第7讲立体几何中的向量方法[基础题组练]1.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为()A.B．C.D．解析：选B.以O为坐标原点建系如图，则A(0，1，0)，A1(0，1，1)，B1，C.所以AA1＝(0，0，1)，B1C＝(0，－1，－1)，所以cos〈AA1，B1C〉＝＝＝－，所以〈AA1，B1C〉＝，所以异面直线B1C与AA1所成的角为.故选B.2.如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为()A.B．C.D．解析：选A.如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C1(0，3，1)，D1(0，0，1)，E(1，1，0)，C(0，3，0)，所以DC1＝(0，3，1)，D1E＝(1，1，－1)，D1C＝(0，3，－1)．设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，则即即取y＝1，得n＝(2，1，3)．因为cos〈DC1，n〉＝＝＝，所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为，故选A.3．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2.则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．120°解析：选C.如图所示，二面角的大小就是〈AC，BD〉．因为CD＝CA＋AB＋BD，所以CD2＝CA2＋AB2＋BD2＋2(CA·AB＋CA·BD＋AB·BD)1＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·BD，所以CA·BD＝[(2)2－62－42－82]＝－24.因此AC·BD＝24，cos〈AC，BD〉＝＝，又〈AC，BD〉∈[0°，180°]，所以〈AC，BD〉＝60°，故二面角为60°.4.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为________．解析：设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B1(0，，2)，F(1，0，1)，E，G(0，0，2)，B1F＝(1，－，－1)，EF＝，GF＝(1，0，－1)．设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝1，则z＝1，y＝，故n＝(1，，1)为平面GEF的一个法向量，所以|cos〈n，B1F〉|＝＝，所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为.答案：5．如图所示，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.(1)求证：BD⊥平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值的大小．2解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥AE.又因为AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACFE.所以BD⊥平面ACFE.(2)以O为原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，过点O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则B(0，，0)，D(0，－，0)，E(1，0，2)，F(－1，0，a)(a>0)，OF＝(－1，0，a)．设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令z＝1，则n＝(－2，0，1)，由题意得sin45°＝|cos〈OF，n〉|＝＝＝，解得a＝3或a＝－(舍去)．所以OF＝(－1，0，3)，BE＝(1，－，2)，cos〈OF，BE〉＝＝，故异面直线OF与BE所成角的余弦值为.6．(2020·湖北十堰4月调研)如图，在三棱锥P－ABC中，M为AC的中点，PA⊥PC，AB⊥BC，AB＝BC，PB＝，AC＝2，∠PAC＝30°.(1)证明：BM⊥平面PAC；(2)求二面角B－PA－C的余弦值．解：(1)证明：因为PA⊥PC，AB⊥BC，所以MP＝MB＝AC＝1，又MP2＋MB2＝BP2，所以MP⊥MB.因为AB＝BC，M为AC的中点，所以BM⊥AC，又AC∩MP＝M，所以BM⊥平面PAC.(2)法一：取MC的中点O，连接PO，取BC的中点E，连接EO，则OE∥BM，从而OE⊥AC.因为PA⊥PC，∠PAC＝30°，所以MP＝MC＝PC＝1.3又O为MC的中点，所以PO⊥AC.由(1)知BM⊥平面PAC，OP平面PAC，所以BM⊥PO.又BM∩AC＝M，所以PO⊥平面ABC.以O为坐标原点，OA，OE，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由题意知A，B，P，BP＝，BA＝(1，－1，0)，设平面APB的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，得n＝(1，1，)为平面APB的一个法向量，易得平面PAC的一个法向量为π＝(0，1，0)，cos〈n，π〉＝，由图知二面角B－PA－C为锐角，所以二面角B－PA－C的余弦值为.法...
