3.3.2函数的极值与导数一、选择题1．(2015·杭州高二检测)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]A[解析]极小值点应有先减后增的特点，即f′(x)<0→f′(x)＝0→f′(x)>0.由图象可知只有1个极小值点．2．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝()A．－2或2B．－9或3C．－1或1D．－3或1[答案]A[解析] y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1，则x，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)y′＋－＋yc＋2c－2因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.3．设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点[答案]D[解析]f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)，令f′(x)>0，得x>－1，令f′(x)<0，得x<－1，∴函数f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，∴当x＝－1时，f(x)取得极小值．4．函数y＝ax3＋bx2取得极大值或极小值时的x的值分别为0和，则()A．a－2b＝0B．2a－b＝0C．2a＋b＝0D．a＋2b＝0[答案]D[解析]y′＝3ax2＋2bx由题设0和是方程3ax2＋2bx＝0的两根，∴a＋2b＝0.5．设函数f(x)＝＋lnx，则()A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点[答案]D[解析]本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题．f′(x)＝－＋＝(1－)，由f′(x)＝0可得x＝2.当02时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增．所以x＝2为极小值点．对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．6．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．9[答案]D[解析]f′(x)＝12x2－2ax－2b，由条件知f′(1)＝0，∴a＋b＝6，∴ab≤()2＝9，等号在a＝b＝3时成立，故选D．二、填空题7．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取得极小值时，x的值是________.[答案]－1[解析]f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)，令f′(x)>0得－12，∴函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上递减，在(－1,2)上递增，∴当x＝－1时，函数f(x)取得极小值．8．(2015·陕西文)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________.[答案]y＝－[解析] y＝xex，∴y′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，当x＝－1时y有极小值，此时y|x＝－1＝－，而y′|x＝－1＝0，∴切线方程为y＝－.9．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________.[答案]00)，∴0<<1，∴00得－2
