第六节空间向量及其运算【最新考纲】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面．()(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.()(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．()(4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与C1M相等的向量是()A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b－cD．－a－b＋c解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，C1M＝C1C＋CM＝A1A＋CA＝A1A＋(BA＋DA)＝－c－a－b.答案：C3．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2B．－C.D．2解析：由题意a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.答案：D4．(2014·广东卷)已知向量a＝(1，0，－1)，则下面向量中与向量a成60°夹角的是()A．(－1，1，0)B．(1，－1，0)C．(0，－1，1)D．(－1，0，1)解析：对于选项B，设b＝(1，－1，0)．a·b＝(1，0，－1)·(1，－1，0)＝1，且|a|＝|b|＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴向量a与向量(1，－1，0)的夹角为60°.答案：B5．有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②点O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底．④若P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB.则其中正确的命题序号是________．解析：显然①②正确．对于③若a＋b，a－b，c不是空间的一个基底，则c＝x(a＋b)＋y(a－b)＝a(x＋y)＋b(x－y)∴c与a，b共面，与向量a，b，c是空间的一个基底矛盾，因此③正确．④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则MP＝xMA＋yMB不正确．答案：①②③一种意识——基底意识用向量解决立体几何问题应树立“基底”意识．两种方法——基向量法和坐标法用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于建系的可用坐标运算求解．三个注意点——利用向量解决立体几何问题应注意的问题1．注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误；2．注意向量夹角与两直线夹角的区别；3．注意向量共线与两直线平行与重合的区别．一、选择题1．在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直解析：由题意得，AB＝(－3，－3，3)，CD＝(1，1，－1)，∴AB＝－3CD，∴AB与CD共线，又AB与CD没有公共点．∴AB∥CD.答案：B2．空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么()A.AE·BC
AE·CDD.AE·BC与AE·CD的大小不能比较解析：取BD的中点F，连接EF，则EFCD.因为AE⊥BC，〈AE，EF〉＝〈AE，CD〉>90°.所以AE·BC＝...
