吉林省延吉市金牌教育中心高中数学第二章热点专题三空间中的平行和垂直关系新人教A版必修21．空间中的平行关系有三类：一是线线平行，由平行线的传递性和平面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行，根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等．二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可证明线面平行．三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行．由面面平行可以得出线面平行和线线平行，平行关系的转化是：2．空间中的垂直关系有三类：一是线线垂直，空间两直线垂直有相交垂直和异面垂直两种情形，由两直线所成的角是直角或者由线面垂直推出线线垂直．二是线面垂直，利用线面垂直的定义、判定定理、平面与平面垂直的性质定理来判定线面垂直．三是面面垂直，利用直二面角和面面垂直的判定定理判定两平面垂直．垂直关系的转化：如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC＝AD＝AB＝1，BC＝，凸多面体ABCED的体积为，F为BC的中点．(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：平面BDE⊥平面BCE.证明：(1)∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，∴四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED，∵BC2＝AC2＋AB2，∴AB⊥AC，1∵平面ABC∩平面ACED＝AC，∴AB⊥平面ACED，即AB为四棱锥BACED的高，∵VBACED＝·SACED·AB＝××(1＋CE)×1×1＝，∴CE＝2，取BE的中点G，连接GF，GD，∴GF为三角形BCE的中位线，∴GF∥EC∥DA，GF＝CE＝DA，∴四边形GFAD为平行四边形，∴AF∥GD，又GD⊂平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)∵AB＝AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC，又GF⊥AF，BC∩GF＝F，∴AF⊥平面BCE，∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，又GD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE.►跟踪训练5．如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，E，F分别是AB，BC的中点．求证：(1)EF∥平面A1BC1；证明：连接AC，则AC∥A1C1，而E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC，则EF∥A1C1，故EF∥平面A1BC1.(2)平面D1DBB1⊥平面A1BC1.证明：因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，则A1C1⊥平面D1DBB1，又A1C1⊂平面A1BC1，所以平面D1DBB1⊥平面A1BC1.6．某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．2(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；解析：该几何体的直观图如图甲所示．(2)在直观图中，①证明：PD∥平面AGC.②证明：平面PBD⊥平面AGC.证明：如图乙，①连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD.又OG⊂平面AGC，PD⊄平面AGC，所以PD∥平面AGC.②连接PO，由三视图可得到，PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，BO∩PO＝O，所以AO⊥平面PBD.因为AO⊂平面AGC，所以平面PBD⊥平面AGC.7．(2013·广东卷)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点，将△ABC沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′BCDE，其中A′O＝.(1)求证：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值．解析：因为在等腰直角三角形ABC中，3∠B＝∠C＝45°，CD＝BE＝，CO＝BO＝3.所以在△COD中，OD＝＝，同理得OE＝.因为AD＝A′D＝A′E＝AE＝2，A′O＝，所以A′O2＋OD2＝A′D2，A′O2＋OE2＝A′E2，所以∠A′OD＝∠A′OE＝90°.所以A′O⊥OD，A′O⊥OE.又OD∩OE＝O，所以A′O⊥平面BCDE.(2)过点O作OF⊥CD的延长线于点F，连接A′F.因为A′O⊥平面BCDE，根据三垂线定理，有A′F⊥CD，所以∠A′FO为二面角A′CDB的平面角．在Rt△COF中，OF＝CO·cos45°＝，在Rt△A′OF中，A′F＝＝.所以cos∠A′FO＝＝，所以二面角A′CDB的平面角的余弦值为.4
