高考数学一轮复习 专题44 立体几何中的向量方法押题专练 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题44立体几何中的向量方法1．平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝()A．2B．－4C．4D．－2解析： α∥β，∴两平面法向量平行，∴＝＝，∴k＝4.答案：C2．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相关B．平行C．在平面内D．平行或在平面内解析： AB＝λCD＋μCE，∴AB，CD，CE共面．则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．答案：D3．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是()A．P(2，3，3)B．P(－2，0，1)C．P(－4，4，0)D．P(3，－3，4)4．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为()A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对解析：以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.依题意，可得，D(0，0，0)，P(0，1，)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，M(，2，0)．∴PM＝(，2，0)－(0，1，)＝(，1，－)，AM＝(，2，0)－(2，0，0)＝(－，2，0)，∴PM·AM＝(，1，－)·(－，2，0)＝0，即PM⊥AM，∴AM⊥PM.答案：C5．如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上正确说法的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：A1M＝A1A＋AM＝A1A＋AB，D1P＝D1D＋DP＝A1A＋AB，∴A1M∥D1P，所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1.①③④正确．答案：C6．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，E(1，0，1)，D1(0，0，2)．所以BE＝(0，－1，1)，CD1＝(0，－1，2)．所以cos〈BE，CD1〉＝＝＝.答案：C7．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()A.aB.aC.aD.a解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，N(a，a，)．设M(x，y，z)， 点M在AC1上且AM＝MC1，(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)∴x＝a，y＝，z＝.得M，∴|MN|＝＝a.答案：A8．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E(1，0，)，D(0，1，0)，答案：B9．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A.B.C.D.解析：如图所示：S△ABC＝×××sin60°＝.∴VABCA1B1C1＝S△ABC·OP＝·OP＝，∴OP＝.又OA＝××＝1，∴tan∠OAP＝＝，又0<∠OAP<，∴∠OAP＝.答案：B10．在四面体P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为()A.B.aC.D.a解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，0，a)．过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离． PA＝PB＝PC，∴H为△ABC的外心．又△ABC为等边三角形，∴H为△ABC的重心，则H.∴PH＝＝a.∴点P到平面ABC的距离为a.答案：B11．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设n＝(x，y，z)为平面A1BC1的法向量．则n·A1B＝0，n·A1C1＝0，即令z＝2，则y＝1，x＝2，于是n＝(2，1，2)，D1C1＝(0，2，0)设所求线面角为α，则sinα＝|cos〈n，D1C1〉|＝.答案：12．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．解析：以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2，0，2)，E(0...