第3讲圆锥曲线的综合问题一、选择题1．在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是()A.B.C.D.解析：如图，建立空间直角坐标系，易求点D.平面AA1C1C的一个法向量是n＝(1，0，0)，所以cos〈n，AD〉＝＝，则sinα＝.答案：D2．在三棱锥PABC中，侧面PAC与底面ABC均是等腰直角三角形．O是斜边AC的中点，平面PAC⊥平面ABC，且AC＝4，设θ是二面角PABC的大小，则sinθ＝()(导学号54850122)A.B.C.D.解析：连接PO，过O作OD⊥AB，连接PD(如图)．因为平面PAC⊥平面ABC，PO⊥AC，所以PO⊥平面ABC，PO⊥AB.又OD⊥AB.从而AB⊥平面POD，PD⊥AB，所以∠PDO为二面角PABC的平面角，即θ＝∠PDO.由题设，OD＝BC＝×2＝，OP＝2，所以PD＝＝.故sinθ＝sin∠PDO＝＝＝.答案：C二、填空题3．(2017·衡阳联考)如图所示，在正方体AC1中，AB＝2，A1C1∩B1D1＝E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos(α－β)＝________．解析：连接BD，⇒AC⊥平面BB1D1D⇒AC⊥DE，所以α＝.取A1D1的中点F，连EF，FD，易知EF⊥平面AD1，则β＝∠EDF，cos(α－β)＝cos＝sin∠EDF＝.答案：4．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，AC＝2，m是AC的中点，则异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为________．解析：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，AC＝2，M是AC的中点，所以BM⊥AC，BM＝＝1.以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作AC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则C(－，0，0)，B1(0，1，2)，C1(－，0，2)，M(0，0，0)，所以CB1＝(，1，2)，MC1＝(－，0，2)，设异面直线CB1与C1M所成角为θ，则cosθ＝＝＝.所以异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为.答案：三、解答题5．(2017·西安质检)如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求二面角CBED的余弦值的大小．解：设AD＝DE＝2AB＝2a，以AC、AB所在的直线分别作为x轴、z轴，以过点A在平面ACD上作出以AC垂直的直线作为y轴，建立如图所示的坐标系，A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)．因为F为CD的中点，所以F.(1)证明：AF＝，BE＝(a，a，a)，BC＝(2a，0，－a)，所以AF＝(BE＋BC)，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)设平面BCE的法向量m＝(x，y，z)，则即不妨令x＝1可得m＝(1，－，2)．设平面BDE的法向量n＝(x0，y0，z0)，则即令x0＝可得n＝(，－1，0)．于是cos〈m，n〉＝＝.故二面角CBED的余弦值为.6．(2017·德州二模)如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面ADG；(2)求直线GB与平面AEFG所成角的正弦值．(1)证明：在△BAD中，因为AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°.由余弦定理，BD2＝AD2＋AB2－2AB·ADcos60°，BD＝，因为AB2＝AD2＋DB2，所以AD⊥DB，在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，DB⊂平面ABCD，所以GD⊥DB，又AD∩GD＝D，所以BD⊥平面ADG.(2)解：如图以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，因为∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，所以A(1，0，0)，B(0，，0)，E(0，，2)，G(0，0，1)，AE＝(－1，，2)，AG＝(－1，0，1)，GB＝(0，，－1)．设平面AEFG的法向量n＝(x，y，z)，令x＝1，得y＝，z＝1，所以n＝.设直线GB和平面AEFG的夹角为θ，所以sinθ＝|cos〈GB，n〉|＝＝，所以直线GB与平面AEFG所成角的正弦值为.7．(2016·北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.(导学号54850123)(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．(1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.又PA⊥PD，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB.(2)解：取AD的中点O，连接PO，CO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD.所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD，...
