2018年高考数学一轮复习第七章立体几何第40讲空间点、直线、平面之间的位置关系实战演练理1．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(A)A．B．C．D．解析：如图，延长B1A1至A2，使A2A1＝B1A1，延长D1A1至A3，使A3A1＝D1A1，连接AA2，AA3，A2A3，A1B，A1D.易证AA2∥A1B∥D1C，AA3∥A1D∥B1C．∴平面AA2A3∥平面CB1D1，即平面AA2A3为平面α.于是m∥A2A3，直线AA2即为直线n.显然有AA2＝AA3＝A2A3，于是m，n所成的角为60°，其正弦值为.选A．2．(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为直线a和直线b相交，所以直线a与直线b有一个公共点，而直线a，b分别在平面α，β内，所以平面α与β必有公共点，从而平面α与β相交；反之，若平面α与β相交，则直线a与直线b可能相交、平行、异面．故选A．3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥PABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．解析：(1)证明：设BD与AC的交点为O.连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB.EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC．(2)V＝PA·AB·AD＝AB.由V＝，可得AB＝.作AH⊥PB交PB于H.由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，又BC∩BP＝B，故AH⊥平面PBC．又AH＝＝，所以A到平面PBC的距离为.14．(2015·广东卷)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB.(1)证明：PE⊥FG；(2)求二面角PADC的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值．解析：(1)证明：因为PD＝PC，点E为DC中点，所以PE⊥DC．又因为平面PDC⊥平面ABCD，交线为DC，所以PE⊥平面ABCD.又FG⊂平面ABCD，所以PE⊥FG.(2)由(1)可知，PE⊥AD.因为四边形ABCD为长方形，所以AD⊥DC．又因为PE∩DC＝E，所以AD⊥平面PDC．而PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.由二面角的平面角的定义，可知∠PDC为二面角PADC的一个平面角．在Rt△PDE中，PE＝＝，所以tan∠PDC＝＝.从而二面角PADC的正切值为.(3)连接AC，因为＝＝，所以FG∥AC．易求得AC＝3，PA＝＝5.所以直线PA与直线FG所成角等于直线PA与直线AC所成角，即∠PAC，在△PAC中，cos∠PAC＝＝.所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为.2
