§8.7立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离1．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围(0，][0，π]求法cosθ＝cosβ＝2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝.3．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．4．利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则AB＝|AB|＝.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|BO|＝.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(×)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(×)(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(×)(4)两异面直线夹角的范围是(0，]，直线与平面所成角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π]．(√)(5)直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l和α所成角为30°.(√)(6)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.(×)1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．答案90°解析以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立直角坐标系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，M(，1,0)，D(0,1,0)，N(1,1，)，A1M＝(，1，－1)，DN＝(1,0，)．cos〈A1M，DN〉＝＝0，∴A1M与DN所成的角的大小是90°.2．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d＝________.答案2解析P点到平面OAB的距离为d＝＝＝2.3．如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂面α，AC⊥面α，BD⊥AB，BD与面α成30°的角，则C，D两点间的距离是________．答案解析 |AB|＝|AC|＝|BD|＝1，又 AC⊥α，BD与α成30°角，∴AC与BD成60°角，CD2＝(CA＋AB＋BD)2＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·AB＋2CA·BD＋2AB·BD＝1＋1＋1－2＝2，∴|CD|＝.4．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为________．答案90°解析不妨设PM＝a，PN＝b，如图，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F， ∠EPM＝∠FPN＝45°，∴PE＝a，PF＝b，∴EM·FN＝(PM－PE)·(PN－PF)＝PM·PN－PM·PF－PE·PN＋PE·PF＝abcos60°－a×bcos45°－abcos45°＋a×b＝－－＋＝0，∴EM⊥FN，∴二面角α－AB－β的大小为90°.题型一求异面直线所成的角例1(2014·课标全国Ⅱ改编)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为________．答案解析方法一由于∠BCA＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC＝CA＝CC1，可将三棱柱补成正方体．建立如图(1)所示空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，∴BM＝(－1，－1,2)，AN＝(0,1,2)．∴cos〈BM，AN〉＝＝＝＝.方法二通过平行关系找出两异面直线的夹角，再根据余弦定理求解．如图(2)，取BC的中点D，连结MN，ND，AD，由于MN綊B1C1綊BD，因此有ND綊BM，则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角．设BC＝2，则BM＝ND＝，AN＝，AD＝，因此cos∠AND＝＝.思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中...
