高中数学浅谈解析几何中求最值的几种方法学法指导VIP免费

高中数学浅谈解析几何中求最值的几种方法学法指导王钢大解析几何中的求最值问题在中学数学中占有一席之地，近几年的高考也经常出现。最值问题涉及的知识面宽，解题方法较灵活，学生时常感到无从下手。为了解决这个问题，现举例说明求最值的几种方法，请大家指正。一、利用定义圆锥曲线的定义，是曲线上的动点本质属性的反映。研究圆锥曲线的最值，巧妙地应用定义，可把问题简化，速达目的。例1若使双曲线上一点M到定点A（7，）的距离与M到右焦点F的距离之半的和有最小值，求M点的坐标。解：如图1所示，由双曲线定义2可知，，所以|MF|=2|MP|。令，即。此问题转化为折线AMP的最短问题。显然当A、M、P同在一条与x轴平行的直线上时，折线AMP最短，故M点的纵坐标为，代入双曲线方程得M（，）。图1二、利用对称对称思想是研究数学问题常用的思想方法，利用几何图形的对称性去分析思考最值问题，常可获得简捷明快的解法。例2已知点A（2，1），在直线和上分别求B点和C点，使△ABC的周长最小。解：先找A（2，1）关于直线、的对称点分别记为和，如图2所示，若在、上分别任取点和，则△ABC周长=周长。故当且仅当、、、四点共线时取等号，直线方程为：，与、的交点分别为B（，）、C（，0）。图2用心爱心专心评述：这里的主要理论依据是：轴对称的几何性质以及两点间的距离以直线段为最短。三、利用几何利用参数的几何意义，把它转化为几何图形中某些确定的几何量（如角度、长度、斜率）的最大值、最小值问题，这样可以化难为易，提高解题速度。例3椭圆内有两点A（4，0），B（2，2），M是椭圆上一动点，求|MA|+|MB|的最大值与最小值。解：|MA|+|MB|=2a-|MC|+|MB|=10+|MB|-|MC|，根据平面几何性质：||MB|-|MC||，当且仅当M、B、C共线时取等号，故|MA|+|MB|的最大值是，最小值是。评述：若直接利用两点的距离公式，难度较大，本题通过椭圆定义转化后，利用几何性质帮助我们解决问题。四、利用代数将问题里某些变化的几何量（长度、点的坐标、斜率、公比）设为自变量，并将问题里的约束条件和目标表示为自变量的解析式，然后利用代数性质（如配方法、不等式法、判别式法等）进行解决，使问题简单化。例4过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值。解：设AC的直线方程，，由消去x得△=。故|AC|=，由AC⊥BD，故BD的斜率为，。故，所以。图3评述：四边形的形状无法确定，但AC⊥BD，把四边形的面积转化为两三角形的面积之和，进而利用基本不等式求最值。五、利用三角适用适当的角作为自变量，把所求的问题表达成三角函数式，然后利用三角函数的性质去解决问题。例5A为椭圆上任一点，B为圆上任一点，求|AB|的最短距离。分析：|AB|+|BC|，且|BC|=1，故要求|AB|的最小值，只要求|AC|的最小值，而要求|AC|最值，只需利用椭圆的参数方程求解。用心爱心专心图4解：设，C（1，0），故|AC|==，于是，即|AB|=。总之，当我们在解析几何问题中求最值时，要深入思考、善于分析，利用最合理、最恰当的方法去解决，这样有利于我们能快速地达到目的，使问题解决的正确率大大提高。用心爱心专心