第66题空间几何体的外接球与内切球I．题源探究·黄金母题【例1】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，求球的体积．【解析】设球的半径为，由正方体与球的组合结构特征知，正方体的体对角线为球的直径，所以，即，所以球的体积为＝＝．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标3文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如果，画出圆柱的轴截面，，所以，那么圆柱的体积是，故选B.【例3】【2017课标II文15】长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为【答案】【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以【例4】【2017课标1文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．【答案】【解析】取的中点，连接因为所以因为平面平面，所以平面设所以，所以球的表面积为【例5】【2016全国新课标Ⅲ卷】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（）A．B．C）6πD．【答案】B【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B．【例6】【2016全国Ⅱ卷】体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以球面的表面积为，故选A．【例7】【2014全国大纲卷】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是()A．B．16C．9D．【答案】A【解析】由已知条件可知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为，球心为，正四棱锥底面中心为为,则垂直棱锥底面，,所以，解得，所以球的表面积=，故选A．【例8】【2013新课标I卷】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A．B．C．D．【答案】A【解析】设球的半径为，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为，则，解得，∴球的体积为=，故选A．精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第28页练习第2题．【母题评析】本题是球的正方体构成的组合体问题，因这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力．这在高考中常常以单独考查的方式出现在选择题与填空题中，在解答题中通常不会出现．【思路方法】根据所涉及到几何体组合的结构特征，寻求代表它们的几何量间的关系，通常建立方程简单的等式来求解，主要体现为方程思想与转化思想的应用．【命题意图】本类题主要考查空间几何体结构特征、的表面积与体积的计算，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力、方程思想的应用．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，不会渗透于解答时中，难度中等或中等偏上．【难点中心】求组合体的表面积与体积，主要两类难点：（1）不能作出或想象两个几何体间的组合方式与结构特征；（2）不能正确建立两个几何量间的关系．III．理论基础·解题原理考点一棱体的表面积计算棱体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解．n棱柱的展开图由两个全等的边形与个平行四边形组成；棱锥的展开图由一个边形与个共顶点三角形组成；棱台的展开图由两个相似的边形与个梯形组成．这些平面图形的面积即为相应的棱柱、棱锥、棱台的表面积．特别地，棱长为的正方体的表面积，长、宽、高分别为的长方体的表面积．考点二圆体的表面积圆体（圆柱、圆锥、圆台）的表面积公式表现为两部分，即侧面积与底面积，其侧面积可以利用侧面展开图得到．其中圆柱的侧面展开图是一个矩形，其宽是圆柱母线的长，长为圆柱底面周长；圆锥的侧面展开图为扇形，其半径为圆锥母线长，弧长为圆锥底面周长；圆台的侧面展开图为扇环，其两...
