压轴大题高分练6.函数与导数(B组)压轴大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考高分根基!1.已知函数f(x)=lnx+a(x-1)2(a∈R).(1)当a<0时,求函数y=f(x)的单调区间.(2)当x≥1时,f(x)≥a(x2-1)-ex+e恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=lnx+a(x-1)2(a∈R),函数定义域为(0,+∞),所以f′(x)=+2a(x-1)=.令g(x)=2ax2-2ax+1,由a<0可知,4a2-8a>0,从而g(x)=0有两个不同的解.令f′(x)=0,则x1=-<0,x2=+>0,当x∈(0,x2)时,f′(x)>0;当x∈(x2,+∞)时,f′(x)<0,所以函数y=f(x)的单调递增区间为0,+,单调递减区间为.(2)由题意得,当x≥1时,lnx+ex-2ax+2a-e≥0恒成立.令h(x)=lnx+ex-2ax+2a-e,求导得h′(x)=+ex-2a,设φ(x)=+ex-2a,则φ′(x)=ex-,因为x≥1,所以ex≥e,≤1,所以φ′(x)>0,所以φ(x)在[1,+∞)上单调递增,即h′(x)在[1,+∞)上单调递增,所以h′(x)≥h′(1)=1+e-2a.①当a≤时,h′(x)≥0,此时,h(x)=lnx+ex-2ax+2a-e在[1,+∞)上单调递增,而h(1)=0.所以h(x)≥0恒成立,满足题意.②当a>时,h′(1)=1+e-2a<0,而h′(ln2a)=+2a-2a>0,根据零点存在性定理可知,存在x0∈(1,ln2a),使得h′(x0)=0.当x∈(1,x0)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,有h(x)1,则f′(x)>0,若x<1,则f′(x)<0,故f(x)在x=1处取得极小值,即最小值.易知f(x)在x=1处取得的最小值为-.(2)函数h(x)=x2+ex(lnx-ax+1)在x∈R+上有唯一零点,即方程-=-a在x∈R+上有唯一实根,由(1)知函数f(x)=-在x=1处取得最小值-,设g(x)=-a,g′(x)=-,令g′(x)=0,有x=1,列表如下:x(0,1)1(1,+∞)g′(x)>00<0g(x)单调递增极大值单调递减故x=1时,g(x)max=g(1)=1-a,又x→0时,f(x)→0,g(x)→-∞,x→+∞时f(x)→0,g(x)→-a,所以数形结合可知方程-=-a有唯一实根时,-=1-a或-a≥0,此时a的取值范围为.
