专题五第三讲用空间向量的方法解立体几何问题A组1．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(B)A．，－，4B．，－，4C．，－2,4D．4，，－15[解析]AB⊥BC⇒AB·BC＝3＋5－2z＝0，所以z＝4，又BP⊥平面ABC，所以BP·AB＝x－1＋5y＋6＝0，①BP·BC＝3x－3＋y－3z＝0，②由①②得x＝，y＝－．2．已知在正四棱锥ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，点E是AA1的中点，则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为(B)A．B．C．D．[解析]建立如图所示空间直角坐标系，设AB＝1，则AA1＝2，所以B(1,0,0)，E(0,0,1)，D(0,1,0)，C1(1,1,2)，则DC1＝(1,0,2)，BE＝(－1,0,1)，设异面直线DC1与BE所成的角为θ，则cosθ＝＝＝．3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(A)A．B．C．D．[解析]设直线AB1与侧面ACC1A1所成角为θ，建立如图所示空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，则A(0，－1,0)，B1(，0,2)，AB1＝(，1,2)，O(0,0,0)，B(，0,0)，所以BO＝(－，0,0)为侧面ACC1A1的法向量，所以sinθ＝＝．4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列命题：①(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12，②A1C·(A1B1－A1A)＝0，③向量AD1与向量A1B的夹角为60°，④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|AB·A1A·AD|，其中正确命题的序号是(B)A．①③B．①②C．①④D．①②④[解析]如图所示：以点D为坐标原点，以向量DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设棱长为1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，对于①：A1A＝(0,0，－1)，A1D1＝(－1,0,0)，A1B1＝(0,1,0)，所以A1A＋A1D1＋A1B1＝(－1,1，－1)，(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3，而A1B12＝1，所以(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12.所以①正确；对于②：A1C＝(－1,1，－1)，A1A＝(0,0，－1)，A1B1＝(0,1,0)，所以A1C·(A1B1－A1A)＝0.所以②正确；对于③：AD1＝(－1,0,1)，A1B＝(0,1，－1)，AD1·A1B＝－1，cos〈AD1，A1B〉＝＝＝－，所以AD1与A1B的夹角为120°，所以③不正确；对于④：因为AB·A1A＝0，所以④错误．故选B．5．在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是____.[解析]如图所示建立空间直角坐标系，则依题意可知D(，0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，可知AD＝(，0,0)是平面SAB的一个法向量．设平面SCD的法向理n＝(x，y，z)，因为SD＝(，0，－1)，DC＝(，1,0)，所以n·SD＝0，n·DC＝0，可推出－z＝0，＋y＝0，令x＝2，则有y＝－1，z＝1，所以n＝(2，－1,1)．设平面SCD与平面SAB所成的锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝．6．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是__90°__.[解析]延长A1B1至D，使A1B1＝B1D，连接BD，C1D，DM，则AB1∥BD，∠MBD就是直线AB1和BM所成的角．设三棱柱的各条棱长为2，则BM＝，BD＝2，C1D2＝A1D2＋A1C－2A1D·A1C1cos60°＝16＋4－2×4＝12.DM2＝C1D2＋C1M2＝13，所以cos∠DBM＝＝0，所以∠DBM＝90°．7．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE；(3)求二面角A－BE－D的大小．[解析](1)设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE．(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.如图以C为原点，建立空间直角坐标系C－xyz.则C(0,0,0)，A(，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，B(0，，0)，F(，，1)．所以CF＝(，，1)，BE＝(0，－，1)，DE＝(－，0,1)．所以CF·BE＝0－1＋1＝0，CF·DE＝－1＋0＋1＝0.所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE．又 BE∩DE＝E，BE、DE⊂平面BDE．(3)由(2)知，CF＝(，，1)是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量n＝(x，y，z)，则n·BA＝0，n·BE＝0．即所以x＝0，z＝y.令y＝1，...
