压轴大题高分练2.解析几何(B组)压轴大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考高分根基!1.设动圆P(圆心为P)经过定点(0,2),(t+2,0)和(t-2,0),当t变化时,P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程.(2)过点(0,2)且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A,B两点,B点关于y轴的对称点为D,求证:直线AD经过定点.【解析】(1)设M(t+2,0),N(t-2,0),R(0,2),当t变化时,总有MN=4,故圆P被x轴截得的弦长为4.设动圆P圆心为(x,y),半径为r,依题意得:化简整理得x2=4y.所以,点P的轨迹C的方程为x2=4y.(2)由对称性知,直线AD经过的定点在y轴上.设A(x1,y1),B(x2,y2),则D(-x2,y2),其中,y1=,y2=,直线AD的方程为=.令x=0并将y1=,y2=代入,可解得AD的纵截距y0=x1x2.设直线l:y=kx+2,代入抛物线方程,可得x2-4kx-8=0.所以x1x2=-8,此时y0=-2.故直线AD过定点(0,-2).2.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,且C1过点B,圆O是以线段F1F2为直径的圆,经过点A且倾斜角为30°的直线与圆O相切.(1)求椭圆C1及圆O的方程.(2)是否存在直线l,使得直线l与圆O相切,与椭圆C1交于C,D两点,且满足|+|=||?若存在,请求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意知F1(-c,0),F2(c,0),A(a,0),圆O的方程为x2+y2=c2.由题意可知解得所以椭圆C1的方程为+=1,圆O的方程为x2+y2=1.(2)假设存在直线l满足题意.由|+|=||,可得|+|=|-|,故·=0.①当直线l的斜率不存在时,此时l的方程为x=±1.当直线l方程为x=1时,可得C,D,所以·=1-≠0.同理可得,当l方程为x=-1时,·≠0.②当直线l的斜率存在时,设直线l方程为y=kx+m,因为直线l与圆O相切,所以=1,整理得m2=k2+1,①由消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,·=0,即x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,所以(1+k2)+km+m2=0,整理得7m2-12k2-12=0②由①②得k2=-1,此时方程无解.由①②可知不存在直线l满足题意.
