正弦、余弦定理；解三角形的应用举例；数列人教实验版B一.本周教学内容：1、§1.1.1正弦定理2、§1.1.2余弦定理3、§1.2解三角形的应用举例4、§2.1.1数列5、§2.1.2数列的递推公式二.教学目标与要求1.知识与技能目标：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。了解数列的定义，能利用数列的定义解决简单的已知通项公式求数列的项和利用观察法求通项公式，掌握利用递推关系求通项公式的方法和步骤，并加以应用。2.过程与方法目标：加强学生应用数学的意识，提高学生的创造能力。重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。通过解三角形的应用举例和递推公式的应用，培养学生的应用意识，掌握观察法，还有归纳等方法。鼓励学生去探索、猜想和发现，培养学生的问题意识，经常地启发学生去思考，提出问题。三.重点和难点：1.重点：①正弦定理和余弦定理的内容和应用②利用递推公式求数列的通项公式2.难点：①正弦定理和余弦定理的熟练应用及其应用举例②利用递推公式求数列的通项公式四.知识要点解析：1、正弦定理：，实际上包含了三个等式，这就是：，，适用题型：（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。2、余弦定理：公式变形，边角分离：适用题型：（1）已知三角形的三边，求其它三个角。（2）已知三角形的两边与它们的夹角，计算另一边，进而计算出其它两角。3、三角形的面积公式：用心爱心专心122号编辑1（1）（2）4、数列（1）数列的定义：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项。数列中的项有顺序，可以重复。（2）数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。可以采用观察－猜想－证明（数学归纳法证明）【典型例题】例1.在中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断的形状。分析：判断三角形的形状可以通过角，也可以通过边来判断，解题时需要灵活判断解题方法。解：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理得:∴是直角三角形，且A＝90°∴B＋C＝90°，B＝90°－C，∴sinB＝cosC sinA＝2sinBcosC可得1＝2sin2B，∴sin2B＝ B为锐角，∴，则B＝45°∴C＝45°，故是等腰直角三角形。小结：本题主要是正弦定理和三角函数的应用。另外本题还可以利用A＋B＋C＝180°，解法如下： A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－B－C，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC sinA＝2sinBcosC，∴2sinBcosC＝sinBcosC＋cosBsinC从而sin(B－C)＝0，得B＝C由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理得：∴是直角三角形，且A＝90°故是等腰直角三角形。这两种方法大家在学习中注意体会和应用，判断三角形的形状就是通过对三角形的边角关系进行运算，从而得出结论。例2.某巡逻艇在处发现北偏东相距的处有一艘走私船，正沿南偏东的方向以的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？分析：本题是一道应用题，需要用到解三角形的知识，需要根据题目中的条件找到所求的三角形，然后清楚条件之间的关系。解：如图，设巡逻艇经过小时后在处追上走私船，用心爱心专心122号编辑2则，，，，∴∴，∴或（舍）∴，，∴，∴或（舍）又 ，答：巡逻艇应沿北偏东的方向追赶，经过小时追赶上该走私船。另解：同上解得，，在中，由余弦定理得：∴，∴巡逻艇应沿北偏东的方向追赶，经过小时追赶上该走私船。例3.如图所示，在平面上有两定点A和B，AB＝，动点M、N满足AM＝MN＝NB＝1，记取得最大值？分析：本题主要和三角形联系，利用正余弦定理和三角函数公式解决解：由余弦定理，得：∴ MB＜MN＋NB＝1＋1＝2∴0＜A＜，0
