7．7立体几何中的向量方法[重点保分两级优选练]A级一、选择题1．已知点A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB与AC的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析由已知得AB＝(0,3,3)，AC＝(－1,1,0)，∴cos〈AB，AC〉＝＝＝.∴向量AB与AC的夹角为60°.故选C.2．(2018·伊宁期末)三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A－BD－C的大小为()A.B.C.或D.或答案C解析 二面角的范围是[0，π]，且〈n1，n2〉＝，∴二面角A－BD－C的大小为或.故选C.3．(2017·太原期中)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案C解析如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．设AA1＝2AB＝2，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)．∴BE＝(0，－1,1)，CD1＝(0，－1,2)．∴cos〈BE，CD1〉＝＝.故选C.4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则()1A．EF至多与A1D，AC之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面答案B解析以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A1D＝(－1，0，－1)，AC＝(－1,1,0)，EF＝，BD1＝(－1，－1,1)，EF＝－BD1，A1D·EF＝AC·EF＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.故选B.5．(2018·河南模拟)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，D点在棱AA1上且AD＝2DA1，P点在棱C1C上，则PD·PB1的最小值为()A.B．－2C.D．－答案B解析建立如图所示的直角坐标系，则D(1,0,2)，B1(0,1,3)，设P(0,0，z)(0≤z≤3)，则PD＝(1,0,2－z)，PB1＝(0,1,3－z)，∴PD·PB1＝0＋0＋(2－z)(3－z)＝2－，故当z＝时，PD·PB1取得最小值为－.故选B.6．(2018·沧州模拟)如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0
