高中数学函数奇偶性的性质及其应用专题辅导VIP免费

高中数学函数奇偶性的性质及其应用如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有fxfx()()，那么函数f(x)叫做奇函数；如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有fxfx()()，那么函数f(x)叫做偶函数。其判定的法则是：（1）看关系式是否出现fxfx()()（此为奇函数）或fxfx()()（此为偶函数），（2）看定义域是否关于原点对称；（3）看图象是否关于原点对称（此为奇函数）或关于y轴对称（此为偶函数）。显然，法则（1），（2）与法则（3）是等价的。也就是说，一个函数不满足这三条法则中的任何一条，它是非奇非偶函数；如果函数f(x)满足了法则（1），（2）或者满足法则（3），则可判定它的奇偶性。因此，就奇偶性而言函数可以分为四类：①奇函数；②偶函数；③既是奇函数又是偶函数；④非奇非偶函数。设f(x)是奇函数，如果当x>0时，fxgx()()，则fxgxxgxx()()()()()00（证明从略，类似情况略）。设f(x)是奇函数，如果当x>0时，f(x)是增函数，则当x<0时，f(x)仍然是增函数（证明从略，类似情况略）。一.判断函数的奇偶性例1.判定函数fxxx()1122的奇偶性。解：函数的定义域满足101022xx，即为{}11，，函数的图象表示两个点：（-1，0），（1，0）。其图象既关于原点对称，又关于y轴对称。从而函数f(x)既是奇函数又是偶函数。二.求函数的函数值例3.设fxaabxxxxxc()log()2122（其中a,b,c为常数），且f()25，试求f(2)的值。解：设gxaabxxxxc()log()212，易证g(x)是奇函数，故ggfxgxx()()()()222，于是fgfg()()()()()()22412242两式相加得：ff()()282853，即f()23三.函数的解析式例3.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，fxxx()lg()1212。试求此函数的解析式。解：（1）当x＝0时，fff()()()000，于是f()00；（2）当x<0时，x0，则fxxx()lg()()1212，由于f(x)是定义在R上的奇函数，则fxfxxx()()lg()1212此函数的解析式为fxxxxxxxx()lg()()()()121000210232例4.设x()11，，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，fxgxxx()()lg()21，求f(x)的表示式。用心爱心专心解：f(x)是奇函数，有fxfx()()；g(x)是偶函数，有gxgx()()，则fxgxxxfxgxxx()()lg()()()()lg()2121即fxgxxxfxgxxx()()lg()()()lg()2121两式相减得fxxxx()lg()21211四.解不等式例5.解不等式()()()()()()()()xxxxxxxx12341234120解：设fxxxxxxxxx()()()()()()()()()12341234，因fxfx()()，则f(x)是偶函数，即f(x)的奇数次方为0，可设fxxAx()24842，以x＝1代入，得21148111213141112131442A()()()()()()()()解得A＝70，即fxxx()2704842，原不等式可化为：2704812042xx即xx4235360即()()xx223610因而xx211，或x>1例6.（2004年上海卷）设奇函数f(x)的定义域是［-5，5］。当x[]05，时，f(x)的图象如图1，则不等式f(x)<0的解是______________。图1解：根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质，画出函数yfx()在区间［-5，5］上的图象如图2，易知不等式fx()0的解是()(]2025，，。图2五.在二项式的展开式中的应用例7.若()()12341234231123116666656510xxxxxxaxaxaxa，求aa651的值。解：设fxxxxxxx()()()1234123423112311，则f(x)是偶函数则fxaxaxaxa()6666656510的奇数次方的系数aaaa6563310则aa6510用心爱心专心六.函数的奇偶性的综合应用题例8.已知函数fxaxbxcab()()2100，是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中bN，且f()152（1）试求f(x)的解析式；（2）问函数f(x)的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。解：知函数yfxab()()00，是奇函...