第3讲数列的综合问题1．(2016·浙江)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝______，S5＝______.答案1121解析由解得a1＝1，a2＝3，当n≥2时，由已知可得：an＋1＝2Sn＋1，①an＝2Sn－1＋1，②①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1，∴{an}是以a1＝1为首项，以q＝3为公比的等比数列．∴S5＝＝121.2．(2016·四川)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>.(1)解由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．从而an＝qn－1.由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得2a3＝3a2＋2，即2q2＝3q＋2，则(2q＋1)(q－2)＝0，由已知，q>0，故q＝2.所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)证明由(1)可知，an＝qn－1.所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.由e2＝＝，解得q＝.因为1＋q2(k－1)>q2(k－1)，所以>qk－1(k∈N*)．于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝.故e1＋e2＋…＋en>.1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用.热点一利用Sn，an的关系式求an1．数列{an}中，an与Sn的关系：an＝.2．求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累积法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．例1数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足＝1(n≥2)．求数列{an}的通项公式．解由已知，当n≥2时，＝1，所以＝1，即＝1，所以－＝.又S1＝a1＝1，所以数列{}是首项为1，公差为的等差数列．所以＝1＋(n－1)＝，即Sn＝.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.因此an＝思维升华给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.跟踪演练1已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，则数列{an}的通项公式是________．答案an＝2n解析Sn＝，当n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝2或a1＝0(舍去)．当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝－⇒a－a＝2(an＋an－1)，因为an>0，所以an＋an－1≠0，则an－an－1＝2，所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，故an＝2n.热点二数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．例2(2015·陕西)设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.(1)求fn′(2)；(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－＜n.(1)解方法一由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1，所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①则2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)2n－1，所以fn′(2)＝(n－1)2n＋1.方法二当x≠1时，fn(x)＝－1，则fn′(x)＝，可得fn′(2)＝＝(n－1)2n＋1.(2)证明因为fn(0)＝－1＜0，fn＝－1＝1－2×n≥1－2×2＞0，所以fn(x)在内至少存在一个零点，又f′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，所以fn(x)在内单调递增，因此fn(x)在内有且仅有一个零点an，由于fn(x)＝－1，所以0＝fn(an)＝－1，由此可得an＝＋a＞，故＜an＜，所以0＜an－＝a＜×n＋1＝n.思维升华解决数列与函数、不等式的综合问题要注意...
