专题复习数列、不等式、数学归纳法一.本周教学内容：专题复习（数列、不等式、数学归纳法）二.专题重点：数列；等差数列及其通项公式，前n项和公式；等比数列及其通项公式，前n项和公式；等差数列、等比数列的综合应用；数学归纳法；不等式的性质及其证明；两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；比较法、分析法、综合法、放缩法等证明简单的不等式；二元不等式、分式不等式、高次不等式等简单不等式的解法；不等式的应用。三.专题连接：本专题与函数、方程、不等式、三角应用问题、解析几何等专题结合，主要考查等差数列、等比数列的性质、通项公式及前n项和公式的应用；数列、数学归纳法结合，考查“归纳－猜想－证明”的问题.不等式是研究方程和函数的重要工具，常以函数为背景，与函数、数列、解析几何、立体几何、导数等结合，综合解决函数的定义域、值域、最值、单调性等问题，以及讨论方程根与系数的关系和解决实际问题，并注意导数知识的应用.四.思想方法本专题主要有函数与方程、分类讨论、转化与化归思想.以方程思想指导数列，同时解题时应做到回归定义、巧用性质、整体代换、运用函数与方程的思想解决等差、等比数列中的“知三求二”的问题；运用函数与方程的思想解决二次方程、二次函数、二次不等式等问题.等价转化思想把非等差、非等比的数列转化为等差、等比数列；解决不等式的解法，分式化整式、高次化低次.分类讨论思想解决等比数列中公比是否为1；含参数的不等式的证明及解法等.【典型例题】例1.等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。[思路分析]：方法一：利用等差数列的求和公式处理，由及得，，依二次函数性质可知，当时，取最大值，且最大值是。方法二：数形结合处理，由等差数列的求和公式可得，的图象是开口向下的抛物线上的一群离散点，最高点的横坐标为，即最大，易求得最大值为。方法三：利用等差数列的性质处理，由可得，又，从而，，，故最大。点评：数列是特殊的函数，因此求最值问题就是一个重要题型，又因为等差数列前项和一般是不含常数项的二次函数，因此，求最大值可用二次函数法求之，也可根据对称轴来判断，由于数列的特殊性还可以把通项公式写出来，由或来解决，特别注意，用（）时，若解得，是正整数时，说明中有为的项，因此前项和最大（最小）有两项且它们相等。用心爱心专心122号编辑1例2.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？解析：不妨从每年存入的元到年时产生的本息入手考虑，出生时的元到年时变为，岁生日时的元到岁时变为，……岁时的元到岁时变为从而知，如此存款到岁时取回的钱的总数应为：点评：有同学误认为求；而忽视了题目的要求是每年都要存入元。例3.已知下面各数列的前项的和为的公式，求数列的通项公式。（1）且；（2）若数列的前项和。解析：（1）当时，，用累乘法、迭代法可求得。（2）当时，，由于不适此式，所以。点评：由求的唯一途径是，注意分类思想在本题中的应用以及累乘、迭代等方法的应用。例4.设数列的前项和为，则的值为（）（A）（B）（C）（D）[思路分析]：方法一：特殊值法，由原数列知，在选择支中只有（D）满足。用心爱心专心122号编辑2方法二：看通项，，。点评：方法一对解答复杂的选择题有简化计算的作用，方法二利用通项求，为求和的通法。例5.（1）（湖北卷）若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则A.4B.2C.－2D.－4解析：由互不相等的实数成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又成等比数列可得d＝6，所以a＝－4，选D（2）（江西卷）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（）A.100B.101C.200D.201解析：依题意，a1＋a200＝1，故选A（3）（江西卷）在各项均不为零的等差数列中，若，则（）A.B.C.D.解析：设公差为d，则an+1＝an＋d，an－1＝an－d，由可得2an...
