专题复习数列、不等式、数学归纳法一.本周教学内容:专题复习(数列、不等式、数学归纳法)二.专题重点:数列;等差数列及其通项公式,前n项和公式;等比数列及其通项公式,前n项和公式;等差数列、等比数列的综合应用;数学归纳法;不等式的性质及其证明;两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数;比较法、分析法、综合法、放缩法等证明简单的不等式;二元不等式、分式不等式、高次不等式等简单不等式的解法;不等式的应用。三.专题连接:本专题与函数、方程、不等式、三角应用问题、解析几何等专题结合,主要考查等差数列、等比数列的性质、通项公式及前n项和公式的应用;数列、数学归纳法结合,考查“归纳-猜想-证明”的问题.不等式是研究方程和函数的重要工具,常以函数为背景,与函数、数列、解析几何、立体几何、导数等结合,综合解决函数的定义域、值域、最值、单调性等问题,以及讨论方程根与系数的关系和解决实际问题,并注意导数知识的应用.四.思想方法本专题主要有函数与方程、分类讨论、转化与化归思想.以方程思想指导数列,同时解题时应做到回归定义、巧用性质、整体代换、运用函数与方程的思想解决等差、等比数列中的“知三求二”的问题;运用函数与方程的思想解决二次方程、二次函数、二次不等式等问题.等价转化思想把非等差、非等比的数列转化为等差、等比数列;解决不等式的解法,分式化整式、高次化低次.分类讨论思想解决等比数列中公比是否为1;含参数的不等式的证明及解法等.【典型例题】例1.等差数列中,,,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。[思路分析]:方法一:利用等差数列的求和公式处理,由及得,,依二次函数性质可知,当时,取最大值,且最大值是。方法二:数形结合处理,由等差数列的求和公式可得,的图象是开口向下的抛物线上的一群离散点,最高点的横坐标为,即最大,易求得最大值为。方法三:利用等差数列的性质处理,由可得,又,从而,,,故最大。点评:数列是特殊的函数,因此求最值问题就是一个重要题型,又因为等差数列前项和一般是不含常数项的二次函数,因此,求最大值可用二次函数法求之,也可根据对称轴来判断,由于数列的特殊性还可以把通项公式写出来,由或来解决,特别注意,用()时,若解得,是正整数时,说明中有为的项,因此前项和最大(最小)有两项且它们相等。用心爱心专心122号编辑1例2.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一出生就在每年生日,到银行储蓄元一年定期,若年利率为保持不变,且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子岁上大学时,将所有存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数为多少?解析:不妨从每年存入的元到年时产生的本息入手考虑,出生时的元到年时变为,岁生日时的元到岁时变为,……岁时的元到岁时变为从而知,如此存款到岁时取回的钱的总数应为:点评:有同学误认为求;而忽视了题目的要求是每年都要存入元。例3.已知下面各数列的前项的和为的公式,求数列的通项公式。(1)且;(2)若数列的前项和。解析:(1)当时,,用累乘法、迭代法可求得。(2)当时,,由于不适此式,所以。点评:由求的唯一途径是,注意分类思想在本题中的应用以及累乘、迭代等方法的应用。例4.设数列的前项和为,则的值为()(A)(B)(C)(D)[思路分析]:方法一:特殊值法,由原数列知,在选择支中只有(D)满足。用心爱心专心122号编辑2方法二:看通项,,。点评:方法一对解答复杂的选择题有简化计算的作用,方法二利用通项求,为求和的通法。例5.(1)(湖北卷)若互不相等的实数成等差数列,成等比数列,且,则A.4B.2C.-2D.-4解析:由互不相等的实数成等差数列可设a=b-d,c=b+d,由可得b=2,所以a=2-d,c=2+d,又成等比数列可得d=6,所以a=-4,选D(2)(江西卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若,且A、B、C三点共线(该直线不过原点O),则S200=()A.100B.101C.200D.201解析:依题意,a1+a200=1,故选A(3)(江西卷)在各项均不为零的等差数列中,若,则()A.B.C.D.解析:设公差为d,则an+1=an+d,an-1=an-d,由可得2an...