【创新设计】-版高中数学2.3.2空间两点间的距离同步训练苏教版必修21．已知两点M1(－1,0,2)，M2(0,3，－1)，此两点间的距离为________．解析据空间两点间的距离公式得所求距离为＝.答案2．坐标原点O到点A(1,1,1)，B(1,2,2)，C(2，－3,5)，D(3,0,4)的距离中，最小距离是________．解析据空间两点间的距离公式计算出4个距离分别为OA＝＝，OB＝＝＝3，OC＝＝，OD＝＝＝5，即可得最小的是OA＝.答案3．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点M，则CM＝________.解析由A(3,3,1)，B(1,0,5)知AB的中点M为；∴CM＝＝.答案4．在给定的空间直角坐标系中，Z轴上到点P(4,1,2)的距离为的有________个点．解析设满足条件的点为(0,0，z)，代入两点间距离公式：＝，解得z＝5或z＝－1，所以满足条件的点为(0,0,5)或(0,0，－1)，共2个．答案25．已知点A(1,1,1)，点B(3,3,3)，点P在x轴上，且PA＝PB，则点P坐标为________．解析点P在x轴上，设其坐标为(x,0,0)，据空间两点间的距离公式得＝，解得x＝6，故点P坐标为(6,0,0)．答案(6,0,0)6．求证：以A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)为顶点的三角形是直角三角形．证明利用两点间距离公式，得AB＝＝；同理，AC＝，BC＝；所以AC2＋BC2＝AB2，结论得证．7．点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影，则OB等于________．解析点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影为B(0,2,3)；据空间两点间的距离公式得OB＝＝.答案8．如图，在空间直角坐标系中有一棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，A1C的中点E与AB的中点F的距离为________．解析点E的坐标为，点F的坐标为，所以EF＝＝a.答案a9．空间直角坐标系O－xyz中，已知点A(2,3，－1)，B(4,1，－1)，C(4,3，－3)，则△ABC的形状是________．解析根据两点间的距离公式，得AB＝＝2，AC＝＝2，BC＝＝2，即△ABC为等边三角形．答案等边三角形10．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当A、B两点间距离取得最小值时，x的值为________．解析AB＝，所以当x＝时，A，B两点间距离取得最小值．答案11．求证：以A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．证明AB＝＝7，AC＝＝7，BC＝＝7，所以AB2＋AC2＝BC2且AB＝AC.∴△ABC为等腰直角三角形．12．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问(1)在y轴上是否存在点M，满足MA＝MB?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．解(1)设在y轴上存在点M，满足MA＝MB.∵M在y轴上，∴可设M(0，y,0)，由MA＝MB，可得＝，显然，此式对任意y∈R恒成立．∴y轴上所有的点都满足MA＝MB.(2)设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)知，y轴上任意一点都满足MA＝MB，∴只需MA＝AB就可以使△MAB是等边三角形．∵MA＝＝，AB＝＝；∴＝，解得y＝±∴y轴上存在点M(0，，0)或(0，－，0)，使△MAB为等边三角形．13．(创新拓展)如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且A′N＝3NC′，试求MN的长．解以D为原点，DA、DC、DD′分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体的棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′中点O′，所以M，O′.因为A′N＝3NC′，所以N为A′C′的四等分，从而N为O′C′的中点，故N.根据空间两点的距离公式，可得MN＝＝a.
