高中数学第一章计数原理5二项式定理同步测控北师大版选修2-3我夯基，我达标1.在（x-1)(x+1)8的展开式中，x5的系数是…（）A.-14B.14C.-28D.28解析：原式=x(x+1)8-(x+1)8,故x5的系数为C-C=14.答案：B2.（)10的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（）A.0B.2C.4D.6解析：∵Tr+1=C()10-r(-)r=Cx·(-)r·x-r=C(-)rx,由5-r∈N*知r=0或2,∴展开式中第1、3项x的指数为正整数.答案：B3.若（)n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）A.-540B.-162C.162D.540解析：令x=1得2n=64,则n=6.Tr+1=C(3)6-r(-)r=(-1)r36-rCx3-r,令3-r=0，得r=3.常数项为-27C=-540.答案：A4.若多项式x2+x10=a0+a1(x+1)+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则a9的值为（）A.9B.10C.-9D.-10解析：x10的系数为a10=C=1,x9的系数为a9·+a10·C=a9+10=0,∴a9=-10.答案：D5.(2006高考陕西卷，14)（3x-)12展开式中x-3的系数为____________.（用数字作答）解析：Tr+1=C(3x)12-r·(-)r=(-1)rC·312-r·x,令12-r=-3,得r=10.∴x-3的系数为（-1）10·C·32=594.答案：5946.(2006高考全国卷Ⅱ，13.在(x4+)10的展开式中常数项是____________.（用数字作答）1解析：Tr+1=C(x4)10-r·()r=C·x40-5r,令40-5r=0，得r=8.∴常数项为C=45.答案：45我综合，我发展7.(2006高考湖南卷，11)若(ax-1)5的展开式中x3的系数是-80，则实数a的值是____________.解析：设(ax-1)5的展开式的通项公式为Tr+1=C·(ax)5-r·(-1)r.由x3的系数为-80，可得解得答案：-28.在(x-)2008的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=时，S的值为多少？解：Tr+1=Cx2008-r(-)r,显然当2008-r为奇数时，r为奇数.∴当x=时，Tr+1=-C()2008=-C·21004.∴S=-21004(C+C+…+C)=-21004××22008=-23011.9.已知（x2-)n的展开式中第三项与第五项的系数之比为-，其中i2=-1，则展开式中常数项的值是多少？解：设（x2-)n的展开式的第r+1项为Tr+1,则Tr+1=C·(x2)n-r·(-)r=C·(-i)r·x.由已知第三项与第五项的系数比为-，得,即=,解得n=10.由2n-=0得r=8,则展开式中的常数项为C·(-i)8=C=C=45.我创新，我超越10.设数列{an}是等比数列，a1=C·A,公比q是(x+)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）.（1）用n,x表示通项an与前n项和Sn;(2)若An=CS1+S2+…+CSn，用n,x表示An.2解：（1）∵a1=C·A,∴即∴m=3.由（x+)4知T2=C·x4-1·()=x.∴an=xn-1,Sn=.(2)当x=1时，Sn=n,An=C+2C+3C+…+nC.又∵An=nC+(n-1)C+(n-2)C+…+C+0·C,∴2An=n(C+C+C+…+C).∴An=n·2n-1.当x≠1时，Sn=,An==［（C+C+C+…+C)-(xC+x2C+x3C+…+xnC)］=［2n-1-(1+xC+x2C+…+xnC-1)］=［2n-(1+x)n］.∴An=11.已知数列{an}满足an=n·2n-1(n∈N*),是否存在等差数列{bn}，使an=b1C+b2C+b3C+…+bnC对一切整数n成立？并证明你的结论.解：假设等差数列{bn}使等式n·2n-1=b1C+b2C+b3C+…+bnC对一切正整数n成立.当n=1时，得1=b1C11,∴b1=1；当n=2时，得4=b1C+b2C,∴b2=2；当n=3时，得12=b1C+b2C+b3C,∴b3=3；可猜想bn=n时，n·2n-1=C+2C+3C+…+nC.∵kC=k·3=n·∴C+2C+3C+nC=n(C）=n·2n-1.故存在等差数列{bn}，{bn}满足bn=n，使已知等式对一切n∈N*成立.4
