3.3一元二次不等式及其解法课时过关·能力提升1下列不等式中,解集是R的是()A.x2+2x+1>0B.√x2>0C.(13)x+1>0D.1x-2<1x解析因为x2+2x+1=(x+1)2≥0,所以选项A不正确;因为√x2=|x|≥0,所以选项B不正确;选项D中x≠0;因为(13)x>0,所以(13)x+1>1>0,x∈R,故选C.答案C2已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是()A.{x|x>5a或x<-a}B.{x|x<5a或x>-a}C.{x|-a
0(⇒x-5a)(x+a)>0.∵a<-12,∴5a<-a.∴x>-a或x<5a.故选B.答案B3已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1312}C.{x|-213}解析方法一:ax2+bx+c>0的解集为{x|-130.设a=-3k,b=5k,c=2k(k>0),则cx2+bx+a<02⇔kx2+5kx-3k<02⇔x2+5x-3<0⇔-30⇔-23x2-53x+1>02⇔x2+5x-3<0⇔-32的解集为()A.(1,2)∪(3,+∞)B.(√10,+∞)C.(1,2)∪(√10,+∞)D.(1,2)解析当x<2时,令2ex-1>2,解得12,解得x∈(√10,+∞).故x∈(1,2)∪(√10,+∞).答案C★5关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小,且另一根比1大的充要条件是()A.-11C.-21解析令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,则它是开口向上的二次函数,方程的根即是函数与x轴的交点的横坐标,因此只需f(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,故-20,Δ=(-6k)2-4k(k+8)≤00⇒0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为.解析因为函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-4x,所以f(x)={x2-4x,x>0,0,x=0,-x2-4x,x<0,所以原不等式等价于{x>0,x2-4x>x或{x<0,-x2-4x>x.由此可解得x>5或-50,则实数a的取值范围是.解析∵f(x)为奇函数,∴f(2-a)>-f(1-a-a2)=f(a2+a-1).又f(x)在(-3,3)上单调递减,3∴{-3<2-a<3,-3<1-a-a2<3,2-a1或a<-3.解得11}.(2)当a≠0时,原不等式可化为a(x-1)(x-1a)<0.若a<0,则(x-1)(x-1a)>0.因为1a<1,所以原不等式的解集为{x|x<1a或x>1};若a>0,原不等式化为(x-1)(x-1a)<0.①当1a<1,即a>1时,不等式的解集为{x|1a1,即01};当a=0时,解集为{x|x>1};当01时,解集为{x|1a0的解集为(α,β),求不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集.解由题意,得a<0,α+β=-ba>0,αβ=ca>0.∴a<0,c<0,b>0,从而a+c-b<0.设(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为α',β',则有α'+β'=2a-ba+c-b=2a+a(α+β)a+aαβ+a(α+β)=(α+1)+(β+1)(α+1)(β+1)=1α+1+1β+1,α'β'=aa+c-b=aa+aαβ+a(α+β)=1α+1·1β+1.∴(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为1α+1,1β+1.∵0<α<β,∴1α+1>1β+1>0.∴不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集为(1β+1,1α+1).★12若关于x的不等式4x+mx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,求实数m的取值范围.解方法一:因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以不等式4x+mx2-2x+3<2同解于4x+m<2x2-4x+6,即2x2-8x+6-m>0.要使原不等式对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0对任意实数x恒成立.5所以需要Δ<0,即64-8(6-m)<0.整理并解得m<-2.所以实数m的取值范围是(-∞,-2).方法二:由方法一,知要使4x+mx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0恒成立即可.变形为m<2x2-8x+6.设h(x)=2x2-8x+6,要使m<2x2-8x+6恒成立,只要m
