【成才之路】-学年高中数学第2章§11.1圆锥曲线与方程同步测试北师大版选修1-1一、选择题1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹方程是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段[答案]D[解析] |MF1|＋|MF2|＝6，|F1F2|＝6，∴|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，∴点M的轨迹是线段F1F2.2．已知椭圆＋＝1上一点P到其一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为()A．2B．3C．5D.7[答案]D[解析]利用椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10. |PF1|＝3，∴|PF2|＝7.3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(0,2)C．(1，＋∞)D．(0,1)[答案]D[解析]先将方程x2＋ky2＝2变形为＋＝1.要使方程表示焦点在y轴上的椭圆，需>2，即00，B>0)，由题意得解得二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．[答案]＋＝1[解析]由题意可得，∴，故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.8．过点(－3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆方程是________．[答案]＋＝1[解析]因为焦点坐标为(±，0)，设方程为＋＝1，将(－3,2)代入方程可得＋＝1，解得a2＝15，故方程为＋＝1.9．动点P到两定点A(－3,0)、B(3,0)距离之和为10，则点P的轨迹方程为________．[答案]＋＝1[解析] |AB|＝6<10，∴所求轨迹为以A、B为焦点的椭圆，由定义知a＝5，c＝3，∴b＝4，∴方程为＋＝1.三、解答题10．如图所示，已知点P是椭圆＋＝1上的点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．[答案]8－4[解析]在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2，∴c＝＝1，又 点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2①由余弦定理知|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos30°＝|F1F2|2＝(2c)2＝4②①式两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20③③－②得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)，∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin30°＝8－4.一、选择题11．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形[答案]B[解析]由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝2c＝2＝4，∴△PF1F2为直角三角形．12．已知椭圆的两个焦点分别是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A．圆B．椭圆C．射线D．直线[答案]A[解析] |PQ|＝|PF2|且|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PQ|＋|PF1|＝2a，又 F1、P、Q三点共线，∴|PF1|＋|PQ|＝|F1Q|，∴|F1Q|＝2a.即Q在以F1为圆心，以2a为半径的圆上．13．若△ABC的两个顶点坐标A(－6,0)，B(6,0)，△ABC的周长为32，则顶点C的轨迹方程为()A.＋＝1B.＋＝1(y≠0)C.＋＝1(y≠0)D.＋＝1(y≠0)[答案]D[解析]由题意得|CA|＋|CB|＋|AB|＝32，又|AB|＝12，∴|CA|＋|CB|＝20>|AB|，由椭圆定义知，顶点C的轨这是以A，B为焦点的椭圆，其方程为＋＝1(y≠0)．14．(·邯郸市一模)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF2的中点在y轴上，那么|PF2|是|PF1|的()A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍[答案]A[解析]解法1：由条件知F1(－3,0)，F2(3,0)，P(－3，±)，即|PF1|＝，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF2|＝，即|PF2|＝7|PF1|.解法2：由已知，则PF1⊥F1F2，∴PF1＝＝，而F1F2＝2c＝6，∴|PF2|2＝()2＋62，∴|PF2|＝，∴|PF2|是|PF1|的7倍．二、填空题15．已知椭圆的焦点是F1(－1,0)，F2(1,0)，P是椭圆上的一点，则|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，则该椭圆的方程是________．...
