第三章数系的扩充与复数的引入(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为()A．2cosB．－2cosC．2sinD．－2sin2．已知M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为()A．－1或6B．－1或4C．－1D．43．若θ∈，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．一元二次方程x2－(5＋i)x＋4－i＝0有一个实根x0，则()A．x0＝4B．x0＝1C．x0＝4或x0＝1D．x0不存在5．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA和OB，其中O为坐标原点，则|AB|等于()A.B．2C.D．46．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于()A.B.C．1D．27．在复平面上复数－1＋i、0、3＋2i所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为()A．5B.C.D.8．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则z为()A．－＋2iB．－－2iC.＋2iD.－2i9．1＋2i＋3i2＋…＋2005i2004的值是()A．－1000－1000iB．－1002－1002iC．1003－1002iD．1005－1000i10．设复数z满足＝i，则|1＋z|等于()A．0B．1C.D．211．若z1＝(2x－1)＋yi与z2＝3x＋i(x，y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．f(n)＝in＋i－n(n∈N＋)的值域中的元素个数是()A．2B．3C．4D．无穷多个题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．z1是复数，z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为______．14．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是________．15．若复数z＝，则|＋3i|＝________.16．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A、B、C.若OC＝2OA＋OB，则a＝________，b＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)，当实数m取什么值时，复数z是(1)虚数，(2)纯虚数．18．(12分)设复数z满足|z|＝5，且(3＋4i)z在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上，|z－m|＝5(m∈R)，求z和m的值．19.(12分)复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.20．(12分)已知复数z的模为2，求复数1＋i＋z的模的最大值、最小值．21.(12分)已知z是虚数，证明：z＋为实数的充要条件是|z|＝1.22．(12分)复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a、b的值．答案1．B[|z|＝＝＝＝2 π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，∴2＝－2cos.]2．C[由M∩N＝{3}，知m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，∴，解得m＝－1.]3．B[cosθ＋sinθ＝sin，sinθ－cosθ＝sin.因为θ∈，所以θ＋∈，θ－∈，因此，cosθ＋sinθ<0，sinθ－cosθ>0，所以复数在平面内对应的点在第二象限．]4．D[由已知可得x－(5＋i)x0＋4－i＝0，∴，该方程组无解．]5．B[由题意AB＝OB－OA，∴AB对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴|AB|＝2.]6．A[ z＝＝，∴|z|＝＝＝.∴z·＝|z|2＝.]7．B[BA对应的复数为－1＋i，BC对应的复数为3＋2i， BD＝BA＋BC，∴BD对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.∴BD的长为.]8．A[设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＝－，由|z|＝3，得(－)2＋y2＝9，即y2＝4，∴y＝±2， 复数z对应的点在第二象限，∴y＝2.∴z＝－＋2i.]9．C[1＋2i＋3i2＋4i3＝1＋2i－3－4i＝－2－2i.周期出现，原式＝501×(－2－2i)＋2005i2004＝－1002－1002i＋2005＝1003－1002i.]10．C[由＝i，得z＝＝－i，∴|1＋z|＝|1－i|＝.]11．C[由z1，z2互为共轭复数，得解得所以z1＝(2x－1)＋yi＝－3－i.由复数的几何意义知z1对应的点在第三象限．]12．B[根据i的周期性，当n＝4k(k∈N＋)时，f(n)＝i4k＋i－4k＝1＋1＝2，当n＝4k＋1(k∈N＋)时，f(n)＝i4k＋1＋i－(4k＋1)＝i＋＝0，当n＝4k＋2(k∈N＋)时，f(n)＝i4k＋2＋i－(4k＋2)＝－2，当n＝4k＋3(k∈N＋)时，f(n)＝i4k＋3＋i－(4k＋3)＝－i－＝0.故值域中元素个数为3.]13．1解析设z1＝a＋bi，则z2＝a＋bi－i(a－bi)＝a－b＋(b－a)i，又a－b＝－1，∴b－a＝1.14...
