课时作业(二十五)直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A．m>1B．m>1且m≠3C．m>3D．m>0且m≠32．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定3．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于()A.B．2C.D．154．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是()A.B．(－，)C.D．[－，]二、填空题5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．6．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝________.7．椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，过AB的中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为________．三、解答题8．已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△POQ的面积最大时，求l的方程．9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线通过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值．[尖子生题库]10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b>0)，离心率是，原点与C和直线x＝1的交点围成的三角形面积是.若直线l过点，且与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是顶点)，D是椭圆C的右顶点，求证∠ADB是定值．1课时作业(二十五)直线与圆锥曲线的位置关系1．答案：B2．解析：因为y＝kx－k＋1，所以y－1＝k(x－1)，过定点(1,1)，定点在椭圆＋＝1内部，故选A.答案：A3．解析：令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x2－8x＋1＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝，∴|AB|＝＝＝.答案：A4．解析：双曲线－＝1的渐近线方程是y＝±x，右焦点F(4,0)，过右焦点F(4,0)分别作两条渐近线的平行线l1和l2，如图，由图形可知，符合条件的直线的斜率的取值范围是，故选C.答案：C5．解析：由消去y并化简得x2＋2x－6＝0.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.∴弦长|MN|＝|x1－x2|＝＝＝.答案：6．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4.①∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②由①②得x2＝1，∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.答案：7．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则mx＋ny＝1，mx＋ny＝1，两式相减得mx－mx＋ny－ny＝0，即m(x1－x2)(x1＋x2)＝－n(y1－y2)(y1＋y2)，所以＝－·＝－1，①又＝，②由①②得＝.答案：8．解析：(1)，解得∴椭圆E的方程：＋y2＝1.(2)当直线l垂直于x轴时，△OPQ不存在，则直线存在斜率设直线l的方程为y＝kx－2与＋y2＝1联立消去y有：(4k2＋1)x2－16kx＋12＝0∴Δ＝(－16k)2－4×(4k2＋1)×12＝64k2－48>0，∴k2>，令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∵∴|PQ|＝＝整理得|PQ|＝，令点O到直线l的距离为d，则d＝∴△OPQ的面积S(k)＝|PQ|d＝，令＝t(t>0)则S(k)＝＝＝≤1所以直线l方程为x－2y－4＝0，x＋2y＋4＝029．解析：(1)由已知可得解得a2＝2，b2＝1，故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消去y得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.当Δ＝8(2k2－m2＋1)>0，即2k2>m2－1时，x1＋x2＝，x1·x2＝.所以＝，＝.当k＝0时，线段AB的垂直平分线显然过点S△AOB＝|AB|·|m|＝·|m|·2·＝·因为m∈(－1,0)∪(0,1)，所以m2∈(0,1)S△AOB≤·＝，当m2＝时，取到等号．当k≠0时，因为线段AB的垂直平分线过点，所以＝－，化简整理得2k2＋1＝2m.由得0
