2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质第2课时直线与抛物线的位置关系高效测评新人教A版选修2-1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为()A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0解析：设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，即切线方程为2x－y－1＝0.答案：D2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在解析：由定义|AB|＝5＋2＝7，∵|AB|min＝4，∴这样的直线有且仅有两条．答案：B3．过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于()A．2B.C．2D.解析：设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.∵直线与抛物线交于A，B两点，∴Δ＝16(k＋2)2－16k2＞0，即k＞－1.又＝＝2，∴k＝2或k＝－1(舍)．∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝＝2.答案：C4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.B.C.D.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4.①∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，1且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②由①②得x2＝1，∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.解析：∵F，∴设AB：y＝x－，与y2＝2px联立，得x2－3px＋＝0.∴xA＋xB＝3p.由焦半径公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2.答案：26．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7．k取何值时，直线y＝2x＋k与抛物线y2＝4x无交点？解析：把抛物线y2＝4x与直线y＝2x＋k联立方程组得，消去y整理得4x2＋(4k－4)x＋k2＝0，Δ＝(4k－4)2－4×4×k2<0解得k>.综上，当k>时直线与抛物线没有交点．8．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在P点被平分，求这条弦所在直线方程．解析：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，所求直线方程为y－1＝k(x－4)，∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)①将y1＋y2＝2代入①得k＝＝3，∴直线方程为3x－y－11＝0.9．(10分)已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线y2＝－x交于A，B两点，O为坐标原点．(1)若△OAB的面积为，求k的值；(2)求证：以弦AB为直径的圆必过原点．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，原点O到直线AB的距离为d，联立得，化简整理得k2x2＋(2k2＋1)x＋k2＝0，由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1x2＝1.由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝·，由点到直线距离公式得d＝，∴S△OAB＝|AB|·d＝＝，解得k＝±.(2)证明：由(1)可得kOA＝，kOB＝，kOA·kOB＝.∵y＝－x1，y＝－x2，∴x1x2＝(y1y2)2，∴kOA·kOB＝，又得ky2＋y－k＝0，∴y1y2＝－1，即kOA·kOB＝－1，∴OA⊥OB，2∴以弦AB为直径的圆必过原点．3
