1.2复数的有关概念课时过关·能力提升1.适合x-3i=(8x-y)i的实数x,y的值为()A.x=0,y=3B.x=0,y=-3C.x=5,y=3D.x=3,y=0解析:根据复数相等的定义,可知{x=0,-3=8x-y,即{x=0,y=3.答案:A2.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i解析:由题意,得A(6,5),B(-2,3),由C为线段AB的中点,得C(2,4),所以点C对应的复数为2+4i.答案:C3.若复数cosθ+isinθ和sinθ+icosθ相等,则θ的值为()A.π4B.π4或5π4C.2kπ+π4¿∈Z)D.kπ+π4¿∈Z)1解析:根据复数相等的定义,知{cosθ=sinθ,sinθ=cosθ,所以tanθ=1,即θ=kπ+π4¿∈Z).答案:D4.已知平面直角坐标系中O是原点,如果向量⃗OA,⃗OB对应的复数分别为2−3i,−3+2i,那么向量⃗BA的坐标是()A.(-5,5)B.(5,-5)C.(5,5)D.(-5,-5)解析:向量⃗OA,⃗OB对应的复数分别记作z1=2-3i,z2=-3+2i,根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量⃗OA=(2,−3),⃗OB=(−3,2).由向量减法的坐标运算,得⃗BA=⃗OA−⃗OB=(2+3,−3−2)=(5,−5).答案:B5.已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于√10,则实数x的取值范围是()A.−45−45D.x<−45或x>22解析:由题意,得√(x-1)2+(2x-1)2<√10,即5x2-6x+2<10,解得−450,∴z一定不是实数.答案:D7.在复平面内,O为坐标原点,向量⃗OB对应的复数为3−4i,若点B关于原点的对称点为A,点A关于虚轴的对称点为C,则向量⃗OC对应的复数为¿解析:∵点B的坐标为(3,-4),∴点A的坐标为(-3,4),∴点C的坐标为(3,4),∴向量⃗OC对应的复数为3+4i.答案:3+4i8.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,则k=.解析:由于z<0,则z∈R,即{k2-3k<0,k2-5k+6=0.解得k=2或k=3.但当k=3时,z=0.故k=2.3答案:29.★已知z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,则复数z=.解析:因为z为纯虚数,所以可设z=ai(a∈R,且a≠0),则|z-1|=|ai-1|¿√a2+1,又|-1+i|¿√2,且|z-1|=|-1+i|,得√a2+1=√2.解得a=±1,即z=±i.答案:±i10.已知复数z满足|z|¿√2,z2的虚部为2.(1)求z;(2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.解:(1)设z=x+yi(x,y∈R),因为|z|¿√2,所以x2+y2=2.因为z2=x2-y2+2xyi的虚部为2,所以2xy=2,即xy=1.因此x2+1x2=2,所以x2=1,得{x=1,y=1或{x=-1,y=-1,即z=1+i或z=-1-i.4(2)由(1)得,当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,即A(1,1),B(0,2),C(1,-1),因此三角形面积为12×1×2=1;当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,即A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),因此三角形面积为12×1×(−1+3)=1.综上,△ABC的面积为1.11.在复平面内画出复数z1¿12+√32i,z2=−1,z3=12−√32i对应的向量⃗OZ1,⃗OZ2,⃗OZ3,并求出各复数的模,同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系.解:根据复数与复平面内的点一一对应,可知点Z1,Z2,Z3的坐标分别为(12,√32),(−1,0),(12,-√32),则向量⃗OZ1,⃗OZ2,⃗OZ3如图所示.|z1|¿√(12)2+(√32)2=1,|z2|=|-1|=1,|z3|¿√(12)2+(-√32)2=1.5所以在复平面xOy内,点Z1,Z3关于实轴对称,且Z1,Z2,Z3三点在以原点为圆心,1为半径的圆上.12.★已知复数z1¿√3−i,z2=−12+√32i.(1)求|z1|,|z2|,并比较它们的大小.(2)设z∈C,满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形?解:(1)|z1|=¿√3−i∨¿√(√3)2+(-1)2=2,|z2|¿|-12+√32i|=√(-12)2+(√32)2=1,所以|z1|>|z2|.(2)由(1),知1≤|z|≤2,所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心,1和2为半径的两圆所形成的圆环,并包括圆环的边界,如图所示.67
