3.2一般形式的柯西不等式课后训练1．已知x2＋y2＋z2＝1，则x＋2y＋2z的最大值为()．A．1B．2C．3D．42．已知x，y是实数，则x2＋y2＋(1－x－y)2的最小值是()．A．16B．13C．6D．33．设x，y，z∈R，若x2＋y2＋z2＝4，则x－2y＋2z的最小值为________．4．设x，y，z∈R,2x＋2y＋z＋8＝0，则(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2的最小值为________．5．在△ABC中，设其各边长为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2＋b2＋c2)222211136sinsinsinRABC＋＋.6．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的最值．7．设a1＞a2＞…＞an＞an＋1，求证：21112231111()nnnaanaaaaaa＋＋－＋＋＋－－－.8．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求414141abc＋＋＋＋＋的最大值．已知函数f(x)＝(x－a)2＋(x－b)2＋(x－c)2＋23abc＋＋(a，b，c∈R)的最小值为m.若a－b＋2c＝3，求m的最小值．参考答案1.答案：C解析：由柯西不等式得(x＋2y＋2z)2≤(12＋22＋22)(x2＋y2＋z2)＝9，所以－3≤x＋2y＋2z≤3.当且仅当22yzx＝＝时，右边等号成立．所以x＋2y＋2z的最大值为3.2.答案：B解析：由柯西不等式，得(12＋12＋12)[x2＋y2＋(1－x－y)2]≥[x＋y＋(1－x－y)]2，即x2＋y2＋(1－x－y)2≥13，当且仅当x＝y＝1－x－y，即x＝y＝13时，1x2＋y2＋(1－x－y)2取得最小值13.3.答案：－6解析：由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)·[12＋(－2)2＋22]≥(x－2y＋2z)2，∴(x－2y＋2z)2≤4×9＝36.当且仅当122xyzk＝＝＝，2±3k＝时，上式取得等号，当23k＝时，x－2y＋2z取得最小值－6.4.答案：9解析：2x＋2y＋z＋8＝02(x－1)＋2(y＋2)＋(z－3)＝－9.考虑以下两组向量：u＝(2,2,1)，v＝(x－1，y＋2，z－3)，由柯西不等式，得(u·v)2≤|u|2·|v|2；即[2(x－1)＋2(y＋2)＋(z－3)]2≤[(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2]·(22＋22＋12)，当且仅当x＝－1，y＝－4，z＝2时，等号成立．所以(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥2999＝.5.证明：∵2sinsinsinabcRABC＝＝＝，∴222222111()sinsinsinabcABC＋＋＋＋2236sinsinsinabcRABC＋＋＝.∴原不等式成立．6.解：由柯西不等式，得(2b2＋3c2＋6d2)111236＋＋≥(b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.由条件可得5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2.当且仅当236111236bcd＝＝时，等号成立．即12b＝，13c＝，16d＝时，amax＝2；b＝1，23c＝，13d＝时，amin＝1．7.证明：∵a1＞a2＞…＞an＞an＋1，∴a1－a2＞0，a2－a3＞0，…，an－an＋1＞0，据柯西不等式有：(a1－a2＋a2－a3＋…＋an－an＋1)·212231111nnaaaaaa＋＋＋＋－－－≥221223112231111nnnnaaaaaanaaaaaa＋＋－＋－＋＋－＝－－－.∴原不等式成立．8.解：由柯西不等式，得2(414141)abc＋＋＋＋＋2(141141141)abc＝＋＋＋＋＋≤(12＋12＋12)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)＝3[4(a＋b＋c)＋3]＝21．当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．故414141abc＋＋＋＋＋的最大值为21.9.解：因为f(x)＝(x－a)2＋(x－b)2＋(x－c)2＋23abc＋＋＝3x2－2(a＋b＋c)x＋a2＋b2＋c2＋23abc＋＋＝233abcx＋＋－＋a2＋b2＋c2，所以3abcx＋＋＝时，f(x)取最小值a2＋b2＋c2，即m＝a2＋b2＋c2.因为a－b＋2c＝3，由柯西不等式，得[12＋(－1)2＋22]·(a2＋b2＋c2)≥(a－b＋2c)2＝9，所以m＝a2＋b2＋c2≥9362＝，当且仅当112abc＝＝，即12a＝，12b＝，c＝1时，等号成立．所以m的最小值为32.3
