课时作业(二十)空间向量运算的坐标表示A组基础巩固1．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到C的距离|CM|的值为()A.B.C.D.解析：AB的中点M，又C(0,1,0)，所以CM＝，故M到C的距离|CM|＝|CM|＝＝.答案：C2．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点．若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC等于()A．(－6,21)B．(－2,7)C．(6，－21)D．(2，－7)解析：AC＝2AQ＝2(PQ－PA)＝(－6,4)，PC＝PA＋AC＝(－2,7)，BC＝3PC＝(－6,21)．答案：A3．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为()A．－2B．2C．3D．－3解析： b－c＝(2,1,2)－(4，－2,1)＝(－2,3,1)，a·(b－c)＝(－2，x,2)·(－2,3,1)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.答案：A4．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，OC＝AB，则C点的坐标是()A.B.C.D.解析： AB＝(－3，－2，－4)，∴OC＝AB＝(－3，－2，－4)＝，即C.答案：A5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于()A.B.C.D.解析： a、b、c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使c＝xa＋yb，即(7,5，λ)＝x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，所以解得∴λ＝3x－2y＝.答案：D6．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是()A.B.C.D.解析：b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02＝5t2－2t＋2＝52＋.∴|b－a|＝.∴|b－a|min＝.答案：C7．若a＝(x,3,1)，b＝(2，y,4)，且a＝zb，则c＝(x，y，z)＝__________.解析：由a＝zb，得所以答案：8．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，若a，b的夹角为120°，则k＝________.解析：由于〈a，b〉＝120°，∴cos〈a，b〉＝－，而cos〈a，b〉＝＝.∴＝－，解得k＝－(k＝舍去)．答案：－9．若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则|AB|的取值范围是________．解析：|AB|＝＝1＝，∴1≤|AB|≤5.答案：[1,5]10．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC.(1)求a和b夹角的余弦值；(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．解：(1) a＝AB＝(1,1,0)，b＝AC＝(－1,0,2)，∴a·b＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1，|a|＝，|b|＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－.(2)ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)．ka－2b＝k(1,1,0)－2(－1,0,2)＝(k＋2，k，－4)． 向量ka＋b与ka－2b互相垂直，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1)×(k＋2)＋k×k＋2×(－4)＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或k＝－.B组能力提升11．已知△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于()A．4B.C．5D．2解析：设AD＝λAC(λ∈R)，D(x，y，z)，则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0,4，－3)，∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ.∴BD＝(－4,4λ＋5，－3λ)．又AC＝(0,4，－3)，∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0.∴λ＝－.∴BD＝.∴|BD|＝＝5.答案：C12．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)、O(0,0,0)，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为________．解析：OA＝(1,0,0)，OB＝(0，－1,1)．OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，(OA＋λOB)·OB＝1×0＋(－λ)×(－1)＋λ×1＝2λ，|OA＋λOB|＝，|OB|＝.由题意知：cos120°＝＝－，解得λ2＝.因为＜0，所以λ＜0，所以λ＝－.答案：－13．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，(1)求以向量AB，AC为一组邻边的平行四边形的面积S；(2)若向量a分别与向量AB，AC垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．解析：(1) AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)，∴cos∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°，∴S＝|AB||AC|sin60°＝7.(2)设a＝(x，y，z)，则a⊥AB⇒－2x－y＋3z＝0，a⊥AC⇒x－3y＋2z＝0，|a|＝⇒x2＋y2＋z2＝3，解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．14．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是AA1、CB1的中点．(1)求BM、BN的长．(2)求△BMN的面积．解：以C为原点，以CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)．则B(0,1,0)，M(1,0,1)，N(0，，1)．2(1)BM＝(1，－1,1)，BN＝，∴|BM|＝＝，|BN|＝＝；...
