课时作业(二十四)抛物线的几何性质一、选择题1.顶点在原点,对称轴是y轴,并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()A.x2=±3yB.y2=±6xC.x2=±12yD.x2=±6y2.若抛物线y2=2px的焦点与双曲线-y2=1的右焦点重合,则p的值()A.1B.-1C.4D.63.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2),如果x1+x2=6,则|AB|的值为()A.10B.8C.6D.44.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则Rt△ABO的面积是()A.8p2B.4p2C.2p2D.p2二、填空题5.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为4,则焦点到AB的距离为________.6.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A、B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________.7.在平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的标准方程是________.三、解答题8.求抛物线y=x2上一点A(x0,2)到其对称轴的距离.9.已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.[尖子生题库]10.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点,求证:(1)y1y2=-p2,x1x2=;(2)+为定值;(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.1课时作业(二十四)抛物线的几何性质1.解析:依题意知抛物线方程为x2=±2py(p>0)的形式,又=3,∴p=6,2p=12,故方程为x2=±12y.答案:C2.解析:=⇒p=4,解得p=4.答案:C3.解析:∵y2=4x,∴2p=4,p=2.∴由抛物线定义知:|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=6+2=8.答案:B4.解析:由抛物线的对称性,可知kOA=1,可得A,B的坐标分别为(2p,2p),(2p,-2p),S△ABO=×2p×4p=4p2.答案:B5.解析:不妨设A(x,2),则(2)2=4x.所以x=3,所以AB的方程为x=3,抛物线的焦点为(1,0).所以焦点到AB的距离为2.答案:26.解析:由题意知B,代入方程-=1得p=6.答案:67.解析:线段OA的垂直平分线为4x+2y-5=0,与x轴的交点为,∴抛物线的焦点为,∴其标准方程是y2=5x.答案:y2=5x8.解析:抛物线的对称轴为y轴,把A(x0,2)代入y=x2,得x=16,即|x0|=4,故A到y轴的距离为4.9.解析:(1)因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan60°=.又F,所以直线l的方程为y=.联立消去y得x2-5x+=0.若设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5,而|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p,所以|AB|=5+3=8.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3,所以x1+x2=6.于是线段AB的中点M的横坐标是3,又准线方程是x=-,所以M到准线的距离等于3+=.10.证明:(1)由已知得抛物线焦点坐标为.由题意可设直线方程为x=my+,代入y2=2px,得y2=2p,即y2-2pmy-p2=0.(*)由y1,y2是方程(*)的两个实数根,所以y1y2=-p2.因为y=2px1,y=2px2,所以yy=4p2x1x2,所以x1x2===.(2)+=+=.因为x1x2=,x1+x2=|AB|-p,代入上式,得+==(定值).(3)设AB的中点为M(x0,y0),分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,过M作准线的垂线,2垂足为N,则|MN|=(|AC|+|BD|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.3