课时作业(二十四)抛物线的几何性质一、选择题1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()A．x2＝±3yB．y2＝±6xC．x2＝±12yD．x2＝±6y2．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－y2＝1的右焦点重合，则p的值()A．1B．－1C．4D．63．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，如果x1＋x2＝6，则|AB|的值为()A．10B．8C．6D．44．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则Rt△ABO的面积是()A．8p2B．4p2C．2p2D．p2二、填空题5．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为________．6．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.7．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________．三、解答题8．求抛物线y＝x2上一点A(x0,2)到其对称轴的距离．9．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．[尖子生题库]10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；(2)＋为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．1课时作业(二十四)抛物线的几何性质1．解析：依题意知抛物线方程为x2＝±2py(p＞0)的形式，又＝3，∴p＝6,2p＝12，故方程为x2＝±12y.答案：C2．解析：＝⇒p＝4，解得p＝4.答案：C3．解析：∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.∴由抛物线定义知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.答案：B4．解析：由抛物线的对称性，可知kOA＝1，可得A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，－2p)，S△ABO＝×2p×4p＝4p2.答案：B5．解析：不妨设A(x,2)，则(2)2＝4x.所以x＝3，所以AB的方程为x＝3，抛物线的焦点为(1,0)．所以焦点到AB的距离为2.答案：26．解析：由题意知B，代入方程－＝1得p＝6.答案：67．解析：线段OA的垂直平分线为4x＋2y－5＝0，与x轴的交点为，∴抛物线的焦点为，∴其标准方程是y2＝5x.答案：y2＝5x8．解析：抛物线的对称轴为y轴，把A(x0,2)代入y＝x2，得x＝16，即|x0|＝4，故A到y轴的距离为4.9．解析：(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝.又F，所以直线l的方程为y＝.联立消去y得x2－5x＋＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离等于3＋＝.10．证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为.由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*)由y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，所以x1x2＝＝＝.(2)＋＝＋＝.因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得＋＝＝(定值)．(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，2垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．3
