专题限时集训(十)三角恒等变换与解三角形(建议用时：45分钟)1．已知α∈，cosα＝，则tan＝________.－[由α∈知，sinα<0，所以sinα＝－＝－，tanα＝＝－，所以tan＝＝－.]2．已知sin＝，sin＝，则tanx＝________.－7[由sin＝，sin＝得sinx＋cosx＝，sinx－cosx＝，从而sinx＝，cosx＝－，所以tanx＝＝－7.]3．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝________.[∵θ∈，∴2θ∈，故cos2θ≤0，∴cos2θ＝－＝－＝－.又cos2θ＝1－2sin2θ，∴sin2θ＝＝＝，∴sinθ＝.]4．在△ABC中，BC＝，AC＝，A＝，则B＝________.[由正弦定理可得，＝，即＝，解得sinB＝，因为B＋C＝π－A＝，所以0
，而α∈，所以cos2α＝－＝－＝－，所以＝＝＝－.]7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积等于________．[∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.]8．(2016·无锡期末)已知sin(α－45°)＝－且0°＜α＜90°，则cos2α的值为________．[∵0°＜α＜90°，∴－45°＜α－45°＜45°.∴cos(α－45°)＝＝，∴cos2α＝sin(90°－2α)＝2sin(45°－α)cos(45°－α)＝.]9．(2016·苏州期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若tanA＝2tanB，a2－b2＝c，则c＝________.1[∵tanA＝2tanB，∴＝，∴sinAcosB＝2cosAsinB，∴a·＝2b·，整理得3a2－3b2＝c2.又a2－b2＝c，故c＝c2，解得c＝1或0(舍去)．]10．在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是________三角形．直角[因为sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cosAsinB，又sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosAsinB，所以sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin(A＋B)＝1，所以A＋B＝，故三角形为直角三角形．]11．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.[因为0<β<α<，所以0<α－β<，又因为cosα＝，cos(α－β)＝，所以sinα＝，sin(α－β)＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝，所以β＝.]12．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，满足＋≥1，则角A的范围是________．[由＋≥1，得b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b)，化简得b2＋c2－a2≥bc，即≥，即cosA≥(0，即0，∴tanBtanC>1，由①得tanBtanC＝.又由tanBtanC>1得>1，∴tanA>2.∴tanAtanBtanC＝＝＝(tanA－2)＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当tanA－2＝，即tanA＝4时取得等号．故tanAtanBtanC的最小值为8.]
