高考数学大二轮复习 层级二 专题四 立体几何 第3讲 立体几何中的向量方法课时作业（理）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第3讲立体几何中的向量方法限时50分钟满分60分解答题(本大题共5小题，每小题12分，共60分)1．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E分别是AB，CD的中点，AE的延长线交CB于F.现将△ACD沿CD折起，折起二面角，如图2，连接A′F.(1)求证：平面A′EF⊥平面CBD；(2)当A′C⊥BD时，求二面角A′－CD－B的余弦值．解：本题主要考查折叠、面面垂直的证明、二面角等问题，考查考生的空间想象能力及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算．(1)在平面图形中AF⊥CD，所以折叠后得到A′E⊥CD，EF⊥CD，即可证得结论；(2)可以利用向量法和传统法求解．(1)在Rt△ABC中，由D为AB的中点，得AD＝CD＝DB，又∠B＝30°，所以△ACD是正三角形，又E是CD的中点，所以AF⊥CD.折起后，A′E⊥CD，EF⊥CD，又A′E∩EF＝E，A′E⊂平面A′EF，EF⊂平面A′EF，故CD⊥平面A′EF，又CD⊂平面CBD，故平面A′EF⊥平面CBD.(2)解法一如图，过点A′作A′H⊥EF，垂足H落在FE的延长线上．因为CD⊥平面A′EF，所以CD⊥A′H，所以A′H⊥平面CBD.以E为原点，EF所在的直线为x轴，ED所在的直线为y轴，过E与A′H平行的直线为z轴建立空间直角坐标系．由(1)可知∠A′EF为所求二面角的平面角，设为θ，并设A′C＝a，可得C，D，B，A′.故A′C＝，BD＝，因为A′C⊥BD，所以A′C·BD＝0，即cosθ＋＝0，得cosθ＝－.故二面角A′－CD－B的余弦值为－.解法二如图，过点A′作A′H⊥EF，垂足H落在FE的延长线上，因为CD⊥平面A′EF，所以CD⊥A′H，所以A′H⊥平面CBD.连接CH并延长交BD的延长线于G，由A′C⊥BD，得CH⊥BD，即∠CGB＝90°，因此△CEH～△CGD，则＝，设A′C＝a，易得∠GDC＝60°，DG＝，CE＝，CG＝，代入＝得EH＝，又EA′＝，故cos∠HEA′＝＝.又A′E⊥CD，EF⊥CD，所以∠A′EF即所求二面角的平面角，故二面角A′－CD－B的余弦值为－.2．(2019·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且＝.(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)求二面角F－AE－P的余弦值；(3)设点G在PB上，且＝.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．解析：(1)由于PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，则PA⊥CD，由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD＝A，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(2)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD，AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，易知：A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，由PF＝PC可得点F的坐标为F，由PE＝PD可得E(0,1,1)，设平面AEF的法向量为：m＝(x，y，z)，则，据此可得平面AEF的一个法向量为：m＝(1,1，－1)，很明显平面AEP的一个法向量为n＝(1,0,0)，cos〈m，n〉＝＝＝，二面角F－AE－P的平面角为锐角，故二面角F－AE－P的余弦值为.(3)易知P(0,0,2)，B(2，－1,0)，由PG＝PB可得G，则AG＝，注意到平面AEF的一个法向量为：m＝(1,1，－1)，其m·AG＝0且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内．3．(2019·苏州三模)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝2，PA＝2.(1)取PC中点N，连接DN，求证：DN∥平面PAB.(2)求直线AC与PD所成角的余弦值．(3)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成的角，如果不存在，请说明理由．解析：取BC的中点E，连接DE与AC，相交于点O，连接AE，易知AC⊥DE，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(2，－1,0)，C(0，1,0)，D(－1,0,0)，P(0，－1,2)，(1)PC中点N(0,0,1)，所以DN＝(1,0,1)，设平面PAB的法向量为n＝(a，b，c)，由AP＝(0,0,2)，AB＝(2,0,0)，令b＝1，可得：n＝(0,1,0)，所以DN·n＝0，因为DN⊄平面PAB，所以DN∥平面PAB.(2)AC＝(0,2,0)，PD＝(－1,1，－2)，设AC与PD所成的角为θ，则cosθ＝＝.(3)设M(x，y，z)及PM＝λPD(0≤λ≤1)，所以⇒M(－λ，λ－1,2(1－λ))，设平面ACM的法向量为m＝(x，y，z)，由AC＝(0,2,0)，AM＝(－λ，λ，2(1－λ))，可得m＝(2－2λ，0，λ)，平面ACD的法向量为p＝(0,0,1)，所以cos〈m，p〉＝＝⇒λ＝，解得λ＝.解得M，所以BM＝，所以m...