（江苏专用）高考数学二轮复习 第二篇 第18练 导数与函数的单调性、极值、最值试题 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

第18练导数与函数的单调性、极值、最值[明晰考情]1.命题角度：讨论函数的单调性、极值、最值以及利用导数求参数范围是高考的热点.2.题目难度：偏难题.考点一利用导数研究函数的单调性方法技巧(1)函数单调性的判定方法：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递减.(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：若可导函数f(x)在某个区间内单调递增(或递减)，则可以得出函数f(x)在这个区间内f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验).(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解.1.已知函数f(x)＝ex＋(a≠0，x≠0)在x＝1处的切线与直线(e－1)x－y＋2018＝0平行，求a的值并讨论函数y＝f(x)在(－∞，0)上的单调性.解 f′(x)＝ex－，f′(1)＝e－＝e－1，∴a＝1.∴f′(x)＝ex－＝，令h(x)＝x2ex－1，则h′(x)＝(2x＋x2)ex，∴当x∈(－∞，－2)时，h′(x)>0；当x∈(－2,0)时，h′(x)<0.则h(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减.∴当x∈(－∞，0)时，h(x)≤h(－2)＝－1<0，即当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递减.2.已知函数f(x)＝sinx－x，证明：f(x)>－ex.证明原题即证ex－x＋sinx>0， ex－x＋sinx≥ex－x－1，①令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1，当x>0时，有g′(x)>0，g(x)单调递增；当x<0时，有g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x)≥g(0)＝0.②又①②中的等号成立的条件不一致，∴ex－x＋sinx>0，∴f(x)>－ex.3.已知函数f(x)＝lnx＋，其中常数k>0，讨论f(x)在(0,2)上的单调性.解因为f′(x)＝－－11＝＝－(x>0，k>0).①当0k>0，且>2，所以当x∈(0，k)时，f′(x)<0，当x∈(k,2)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，k)上是减函数，在(k,2)上是增函数；②当k＝2时，＝k＝2，f′(x)<0在(0,2)上恒成立，所以f(x)在(0,2)上是减函数；③当k>2时，0<<2，k>，所以当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，所以函数f(x)在上是减函数，在上是增函数.综上可知，当02时，f(x)在上是减函数，在上是增函数.考点二利用函数的单调性求参数范围方法技巧(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解.4.设函数f(x)＝，其中a为正实数，若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.解对f(x)求导得f′(x)＝ex·.①若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号.结合①与条件a>0知，ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0知，00)，则f′(x)＝x＋－3＝＝.当02时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当1