3.3.2函数的极值与导数[A级基础巩固]一、选择题1．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则()A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)仅在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C2．(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析：根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A、B；记导函数f′(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(－∞，x1)上f′(x)<0，在(x1，x2)上f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，x1)上单调递减，排除C，故选D.答案：D3．函数f(x)＝x2－lnx的极值点为()A．0，1，－1B.C．－D.，－解析：由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝.当x>时，f′(x)>0；当0
0)，f′(x)＝－＋＝，当x>2时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；当00，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)极小值＝f(1)＝－2，f(x)极大值＝f(－1)＝2.函数y＝x3－3x的大致图象如图所示，所以－20，此时函数f(x)单调递增；当x∈(0，2)时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增．所以当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝0；当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－4.故③④正确．答案：③④三、解答题9．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．解：(1)因为f(x)＝alnx＋bx2＋x，所以f′(x)＝＋2bx＋1.由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，所以a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，解得，a＝－，b＝－.(2)由(1)可知f(x)＝－lnx－x2＋x，且其定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝－x－1－x＋1＝－.当x∈(0，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，2)时，f′(x)>0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0；所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．10．已知函数f(x)＝aex－lnx－1.(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.由题设知，f′(2)＝0，所以a＝.从而f(x)＝ex－lnx－1...
