2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一般地,实数一般地,实数λλ与向量与向量aa的的积积是一个是一个向量向量,记作,记作λλaa,它的长度和方向规定如下:,它的长度和方向规定如下:(1)|(1)|λλaa|=||=|λλ||||aa||(2)(2)当当λ>0λ>0时时,,λλaa的方向与的方向与aa方向相同;方向相同;当当λ<0λ<0时时,,λλaa的方向与的方向与aa方向相反;方向相反;特别地,当特别地,当λ=0λ=0或或a=0a=0时时,,λλaa==00设设a,ba,b为任意向量,为任意向量,λ,μλ,μ为任意实数,为任意实数,则有:①则有:①λ(μλ(μaa)=(λμ))=(λμ)aa②②((λ+μλ+μ))a=a=λλa+a+μμaa③③λ(λ(a+ba+b)=λ)=λa+a+λλbb复习实数与向量积θ=180°θ=90°回顾向量夹角的定义已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角。θ=0°特殊情况OBAθ例如图,等边三角形中,求(1)AB与AC的夹角;(2)AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点!12060'C找向量夹角必须保证向量有相同的起点我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移s(如图)θFS力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角向量的夹角?新课引入我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移s(如图)θFS力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角新课引入在问题中,功是一个标量,它由力和位移两个向量确定。这启示我们,能否把功看成是这两个向量的一种运算结果呢?规定:零向量与任一向量的数量积为数0。数量积(向量的乘法)定义:说明:(1)两向量相乘(数量积)结果是一个数量,而不是向量,符号由夹角决定,怎么决定?(2)a·b不能写成a×b,0已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b.a·b=|a||b|cosθ,babababa求求:已知例,43)2(;,//)1(2,11,分两种情况:)由解:(ba//1;2,baba同向,当。反向,当2,baba143cos212ba)(物理上力所做的功实际上是将力正交分解,只有在位移方向上的力做功.θsFbOBaOA,作,过点B作1BB垂直于直线OA,垂足为,则1B1OB|b|cosθOABab1BOABab)(1B|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影.θ为锐角时,|b|cosθ>0θ为钝角时,|b|cosθ<0θ为直角时,|b|cosθ=0BOAab1B数量积的几何意义数量积a·b的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。数量积的重要性质:baba)3(0)1(bababababa同向时,与当)2(量积的定义有:都是非零向量,根据数设ba,222aaaaaaaa或特别地,bababa反向时,与当说明:“向量方等于向量模方”是向量和向量模相互转化的重要依据,今后常用。平面向量数量积的运算律已知向量和实数,则向量的数量积满足:,,abc(1)abba(交换律)(2)()()()ababab(数乘结合律)(3)()abcacbc(分配律)注意:数量积运算不满足结合律1.若a=0,则对任一向量b,有a·b=02.若a≠0,则对任一非零向量b,有a·b≠03.若a≠0,a·b=0,则b=04.若a·b=0,则a·b中至少有一个为05.若b≠0,a·b=b·c,则a=c6.若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立7.对任意向量a,b,c,有(a·b)·c≠a·(b·c)8.对任一向量a,有a2=|a|2练习:判断正误(√)(×)(×)(×)(×)(×)(×)(√)平面向量的数量积及运算律例2.求证:(1)(2)2222bbaaba22bababa证明:(1)2bababaaabaabbb222bbaa(2)bababaabbb22babaababbaababaa向量满足完全平方公式、平方差公式,求的夹角为与,,:已知例obaba120322)())(;();()(babababa3232122;);()(baba54解:3)21(32120cos...