6.4.3余弦定理、正弦定理学习目标1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.2.掌握余弦定理、正弦定理.3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.重点：余弦定理、正弦定理及其应用..难点：余弦定理、正弦定理的应用..1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即____________________asinA＝bsinB＝csinC.[点睛]正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．知识梳理2．解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边，，__叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做．abc解三角形3.余弦定理余弦定理公式表达a2＝________________，b2＝_______________，c2＝_______________语言叙述三角形中任何一边的平方等于__________________________________________________________余弦定理推论cosA＝_________cosB＝________，cosC＝__________b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍b2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab例1一利用余弦定理解三角形1.已知两边及其夹角解三角形常考题型在△ABC中题，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求角A，B和边c的值.【解】由余弦定理知c2＝a2+b2-2abcosC＝4+8-2×2×22×624＝8-43，∴c＝843＝2(62)＝6-2.方法一：cosA＝2222bcabc＝22(22)(62)4222(62)＝32， A∈（0°，180°），∴A＝30°，∴B＝180°-A-C＝135°，∴c＝6-2，A＝30°，B＝135°.方法二：由正弦定理得sinA＝asinCc＝15asinc＝622462＝12， b>a，∴B>A，∴A＝30°，∴B＝180°-A-C＝135°，∴c＝6-2，A＝30°，B＝135°.◆已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理（已知两边和一边的对角）求解.用正弦定理求解时，对角的取值需根据“大边对大角”进行取舍，而用余弦定理就不存在这个问题（因为在（0，π）上，余弦值对应的角是唯一的），故用余弦定理求解较好.训练题［2019·江西九江一中高一检测］在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos（A+B）＝13，则c＝（）A.4B.15C.3D.17D例22.已知三边解三角形在△ABC中，已知a＝26，b＝6+23，c＝43，求A，B，C.【解】根据余弦定理，得cosA＝2222bcabc＝222(623)(43)(26)2(623)43＝32，cosC＝2222abcab＝222(26)(623)(43)226(623)＝22. A∈（0，π），∴A＝6. C∈（0，π），∴C＝4.∴B＝π-A-C＝π-6-4＝712π.∴A＝6，B＝712π，C＝4.◆已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角，再利用余弦定理的推论（或由求得的第一个角利用正弦定理）求出第二个角，最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.【易错提示】三角形三条边长的比等于它们所对角的正弦值的比，但不等于相应角的度数比.【提示】给定三角形边长的比值，常常设出比例系数，并表示出三角形的三边长.［2019·江西九江一中高一检测］若三角形的三边长之比是1∶3∶2，则其所对角之比是（）A.1∶2∶3B.1∶3∶2C.1∶2∶3D.2∶3∶2［2019·江西赣州五校高一联考］已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶6∶（3+1），求△ABC中各角的度数.训练题1.2.A解：已知a∶b∶c＝2∶6∶（3+1），令a＝2k，b＝6k，c＝（3+1）k（k>0），由余弦定理的推论，得cosA＝2222bcabc＝222(6)[(31)](2)26(31)kkkkk＝22.cosB＝2222acbac＝222(2)[(31)](6)22(31)kkkkk＝12. 0°
