高中数学 第3章313空间向量的数量积运算课件 新人教A版选修2-1 课件VIP免费

3．1.3空间向量的数量积运算学习目标1.掌握空间向量的夹角与长度的概念．2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．3．能用向量的数量积判断向量共线与垂直．课堂互动讲练知能优化训练3.1.3空间向量的数积运算课前自主学案课前自主学案温故夯基1．已知平面α内有两个非零向量a，b，在平面α内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做两个向量a，b的______，记作________．2．已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的_________(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，它满足的运算律有：(1)交换律：_________；(2)分配律：____________________；(3)(λa)·b＝______＝______．夹角数量积|a||b|cos〈a，b〉〈a，b〉a·b＝b·aλ(a·b)a·(λb)a·(b＋c)＝a·b＋a·c知新益能1．向量的夹角(1)如图，已知两个非零向量a、b，在空间中任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a、b的夹角，记作_______．(2)向量a、b的夹角〈a，b〉的范围是________，当〈a，b〉＝π2时，则称向量a、b互相垂直，记作______.a⊥b〈a，b〉[0，π]2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律：数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝_______交换律a·b＝_____分配律a·(b＋c)＝__________λ(a·b)b·aa·b＋a·c1．〈a，b〉与〈b，a〉的关系是怎样的？〈a，b〉与〈a，－b〉的关系呢？提示：〈a，b〉＝〈b，a〉；〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．2．(1)两个向量a、b垂直的充要条件是a·b＝0，对吗？(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0，对吗？提示：(1)不对；(2)不对．问题探究课堂互动讲练空间向量数量积的运算考点突破在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算．在解题过程中注意适当地设向量，以简化步骤．例例11【思路点拨】已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，如图所示，点E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)AB→·AC→；(2)EF→·BC→.【解】(1)AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos〈AB→，AC→〉＝a×a×12＝a22.(2) E，F分别为AB，AD的中点，∴EF→＝12BD→.∴EF→·BC→＝12BD→·BC→＝12×a×a×12＝a24.互动探究1本例中，若G点为CD的中点，其他条件不变，求GF→·AC→.解： G，F分别为CD，AD的中点，∴GF→＝12CA→＝－12AC→.∴GF→·AC→＝－12AC→2. AC→2＝a2，∴GF→·AC→＝－12a2.用数量积解决夹角问题1．由公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉可得cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.所以求两个向量的夹角可以先求解数量积及向量的模，再代入公式求解．2．利用夹角公式求两条异面直线的夹角θ时，要注意cosθ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b||a||b|，这是因为异面直线的夹角为不大于90°的角．已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．例例22【思路点拨】寻求OE→、BF→与OA→、OB→、OC→的关系→寻求OE→、BF→的模→计算OE→与BF→的夹角→异面直线OE→与BD→所成角【解】如图所示，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝π3，则a·b＝b·c＝c·a＝12.因为OE→＝12(OA→＋OB→)＝12(a＋b)，BF→＝OF→－OB→＝12OC→－OB→＝12c－b，|OE→|＝|BF→|＝32，所以OE→·BF→＝12(a＋b)·12c－b＝14a·c－14b·c＋12a·b－12b2＝－12，所以cos〈OE→，BF→〉＝OE→·BF→|OE→||BF→|＝－23，所以异面直线OE与BF所成角的余弦值为23.互动探究2在上面的空间四边形中，求OA与BC所成的角．解：因为BC→＝OC→－OB→，所以OA→·BC→＝OA→·(OC→－OB→)＝OA→·OC→－OA→·OB→＝|AO→||OC→|cosπ3－|OA→||OB→|cosπ3＝1×1×12－1×1×12＝0，所以OA→⊥BC→，即OA与BC所成的角为直角．用数量积解决两点间的距离问题求两点间的距离或线段长度的方法如下：(1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a|＝a2，通过计算求出|a|，即得所求距离．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线...