高中数学 2.5 等比数列的前n项和 新一课件 新人教A版必修5 课件VIP免费

2.5等比数列的前n项和（一）1．记住等比数列的前n项和公式，能够利用公式求等比数列的前n项和．2．掌握前n项和公式的推导方法．1．在等比数列{an}中，若公比q＝1，，则其前n项和Sn＝________.答案：na12．在等比数列{an}中，若公比q≠1，则其前n项和Sn＝________＝________.自学导引答案：a11－qn1－qa1－anq1－q1．等比数列的前n项和公式与函数有哪些关系？自主探究答案：(1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝a11－qn1－q，它可以变形为Sn＝－a11－q·qn＋a11－q，设A＝a11－q，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．(2)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．2．数列a，a2，a3，…，an，…一定是等比数列吗？答案：不一定，例如当a＝0时，数列就不是等比数列．1．等比数列1，a，a2，a3，…的前n项和为()预习测评A．1＋a1－an－11－aB.1－an1－aC.an＋1－1a－1D．以上皆错解析：要考虑到公比为1的情况，此时Sn＝n.答案：D2．数列{2n－1}的前99项和为()A．2100－1B．1－2100C．299－1D．1－299解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×1－2991－2＝299－1.2．数列{2n－1}的前99项和为()A．2100－1B．1－2100C．299－1D．1－299解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×1－2991－2＝299－1.答案：C3．若等比数列{an}的前3项的和为13，首项为1，则其公比为__________．解析：由题知1－q31－q＝13,1＋q＋q2＝13，q2＋q－12＝0，所以q＝3或q＝－4.答案：3或－4解析：由题知a11－1241－12＝158.所以a1＝1.答案：14．若一个等比数列的前4项的和为158，公比为12，则其首项为________．1．等比数列前n项和公式的推导设等比数列a1，a2，a3，…，an，…它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋…＋an.由等比数列的通项公式可将Sn写成Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①①式两边同乘以q得，qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn.②①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，由此得q≠1时，要点阐释当q＝1时，Sn＝na1.以上的推导方法叫做“错位相减法”．这是中学数学里比较重要的一种求和方法，要多用心体会．Sn＝a11－qn1－q. an＝a1qn－1，所以上式可化为Sn＝a1－anq1－q.特别提示：(1)等比数列的前n项和的公式及通项公式涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程(组)等手段求出其余两个量，俗称“知三求二”．(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件为q≠1，当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.在解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论q≠1与q＝1两种情况．(3)等比数列前n项和公式的另一种形式是：Sn＝na1q＝1，a1－anq1－qq≠1.2．等比数列的判定方法(1)an＋1＝anq(an≠0，q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．(2)an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)an＋12＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．题型一等比数列前n项和公式的基本运算典例剖析【例1】在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求S5；解：(1)由题意知a11＋q＝30a11＋q＋q2＝155’解得a1＝5q＝5或a1＝180q＝－56’从而Sn＝14×5n＋1－54或Sn＝1080×1－－56n11.(2)解法一：由题意知a1＋a1q2＝10a1q3＋a1q5＝54’解得a1＝8q＝12，从而S5＝a11－q51－q＝312.解法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝18，从而q＝12.又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝a11－q51－q＝312.(3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以，a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．从而a1＝2，an＝64，或...