圆的标准方程【例1】求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程．【解法1】因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以此二定点为直径端点的圆，于是解方程组2x＋y＋4＝0x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，得交点A(－115，25)，B(－3,2)．利用圆的直径式方程得(x＋115)(x＋3)＋(y－25)(y－2)＝0，化简整理得，(x＋135)2＋(y－65)2＝45.【解法2】令过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0交点的圆系方程为：x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，即x2＋y2＋2(1＋λ)x－(4－λ)y＋1＋4λ＝0.r＝1241＋λ2＋4－λ2－41＋4λ＝125λ－852＋165.当λ＝85时，rmin＝25，所求方程为(x＋135)2＋(y－65)2＝45.【解法3】令动圆的方程为：x2＋y2＋2(1＋λ)x－(4－λ)y＋1＋4λ＝0，圆心为(－(1＋λ)，4－λ2)，代入2x＋y＋4＝0，－2(1＋λ)＋4－λ2＋4＝0，λ＝85.代入动圆的方程得x2＋y2＋265x－125y＋375＝0.法一直接求出直线与已知圆的交点，以这两个交点作为直径的端点时圆的半径最小．法二是利用圆系方程处理过直线和圆的交点的圆的方程，然后利用函数的思想求最值．法三从垂径定理的角度出发，得到圆的圆心到已知直线距离最小时所求圆的半径最小，此时圆面积最小，所以当所求圆的圆心在直线2x＋y＋4＝0上时，圆的半径最小，面积最小．3017yxyyx一个圆与轴相切，圆心在直线－＝上，且在直线＝上截得的【变式练弦长为2，求习】此圆的方程．22222222222().303..(3)()327|2|79721133.(3)(1)9(3)(1Oabrxyabyraxbybbyxyxbdrbbbaaxyxy设圆的圆心坐标为，，半径为因为圆心在直线－＝上，所以＝又圆与轴相切，所以＝所以所求圆的方程可设为－＋－＝因为圆在直线＝上截得的弦长为所以圆心到直线＝的距离＝＝＝解得＝或＝－，则＝或＝－所以所求圆的方程为－＋－＝或＋【＋析】＋解2)9.＝圆的一般方程【例1】已知过A(0,1)和B(4，a)且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及圆的方程．2222220.104160(0)0401(1)41604xyDxEyFABEFDaEFaxyDFEFaDDaa设所求圆的方程为＋＋＋＋＝因为点、在此圆上，所以＋＋＝，①＋＋＋＋＝，②又知该圆与轴直线＝相切，所以由＝，－＝，③由①、②、③消去【、可得解析】：－＋＋－＋＝，④2222145410081716.01.081716014540.aDEFaaDEFaaxyxyaxyxy由题意方程④有唯一解，当＝时，＝－，＝－，＝；当时，由＝可解得＝，这时＝－，＝－，＝综上可知，所求的值为或当＝时，圆的方程为＋－－＋＝；当＝时，圆的方程为＋－－＋＝与坐标轴相切时圆的方程求解及其参数的求解问题，方程形式选用要灵活．如果已知圆心、半径或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常采用圆的一般式方程．【变式练习2】已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示的图形是一个圆．(1)当圆的面积最大时，求圆的方程；(2)若点P(3,4m2)恒在所给的圆内，求实数m的取值范围．2224222222222222(3)2(14)1690(3)(14)761.3167617()7713161777241316()()7497312xymxmymxmymmmrmmmmmrxy将方程＋－＋＋－＋＋＝化为－－＋＋－＝－＋＋要使圆的面积最大，需半径最大而＝－＋＋＝－－＋，它是一个一元二次函数，其图象的开口向下．因为－，所以当＝时，取得最大值此时【圆的方程为－＋＋＝当且】仅当解析＋22224246(3)2(14)·41690386004mmmmmmmmP－＋＋－＋＋即－，即时，点在圆内．与圆有关的轨迹问题12121214()23OOOOPOOPMPNMNPMPNP如图，与的半径都是，＝，过动点分别作、的切线、、分别为切点，使得＝，试建立适当的坐标系，求动点的轨【例】迹方程．1212122222122222222222(2,0)2,022112(1)()(2)12[(2)1](6)33(6)33(1230)OOOOOxOOPMPNPMPNPOPOPxyxyxyxyxyxyx以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则－，，由已知＝，得＝，因为两圆的半径均为，所以－＝－．设，，则＋＋－＝－＋－，即－＋＝，所以所求轨迹方程为－＋＝或＋－解＋析＝【】．求轨迹方程的步骤通常可以简化为(1)建系，设点；(2)列式；(3)化简．坐标系的选取决定着方程化简的繁简，设...
