1．向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个，这种运算叫做向量的，记作，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝.(2)λa(a≠0)的方向当时，与a方向相同当时，与a方向相反；特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝或λ0＝.向量数乘|λ||a|λ>0λ<000λa2．向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝.(2)(λ＋μ)a＝.(3)λ(a＋b)＝.特别地，有(－λ)a＝＝；λ(a－b)＝.3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______.4．向量的线性运算向量的、、运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝.(λμ)aλa＋μaλa＋λb－(λa)λ(－a)λa－λbb＝λa加减数乘λμ1a±λμ2b探究点一向量数乘运算的物理背景(1)一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v表示，试在直线l上画出3v向量，看看向量3v与v的关系如何？答3v＝OC→＝OA→＋AB→＋BC→＝v＋v＋v.∴3v与v的方向相同，|3v|＝3|v|.(2)已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能说明它们与向量a之间的关系吗？答OC→＝OA→＋AB→＋BC→＝a＋a＋a＝3a；O′C′→＝O′A′→＋A′B′→＋B′C′→＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.(3)已知非零向量a，你能说明实数λ与向量a的乘积λa的几何意义吗？答λa仍然是一个向量．当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0，方向任意．|λa|＝|λ|·|a|.探究点二向量数乘的运算律根据实数与向量积的定义，可以验证下面的运算律：设λ，μ∈R，则有①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同．你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗？答①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立；如果λ≠0，μ≠0，a≠0，则由向量数乘的定义有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，故|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向．因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以λ(μa)＝(λμ)a.探究点三共线向量定理及应用由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a(a≠0)与b共线，当且仅当存在一个实数λ，使b＝λa.判断两个向量是否共线可转化为存在性问题．解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程(组)求解．若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在．例如，已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？解若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0，因为e1与e2不共线，所以3－6λ＝0，4＋8λ＝0，所以λ不存在，所以a与b不共线．探究点四三点共线的判定由共线向量定理可得，A，B，C三点共线⇔存在λ∈R，使AC→＝λAB→.请你根据该结论证明下列常用推论：推论1：已知O为平面ABC内任一点，若A、B、C三点共线，则存在α、β∈R，使OC→＝αOA→＋βOB→，其中α＋β＝1.证明若A、B、C三点共线，则存在λ∈R，使AC→＝λAB→.∴OC→－OA→＝λ(OB→－OA→)，∴OC→＝(1－λ)OA→＋λOB→.令1－λ＝α，λ＝β，则OC→＝αOA→＋βOB→，且α＋β＝1.推论2：已知O为平面ABC内任一点，若存在α，β∈R，使OC→＝αOA→＋βOB→，α＋β＝1，则A、B、C三点共线．证明因为存在α、β∈R，使OC→＝αOA→＋βOB→，且α＋β＝1.∴β＝1－α，∴OC→＝αOA→＋(1－α)OB→，∴OC→＝αOA→＋OB→－αOB→∴OC→－OB→＝α(OA→－OB→)∴BC→＝αBA→，∴A、B、C三点共线．【典型例题】例1计算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．解(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.小结向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”...
