§5.3等比数列§5.3等比数列考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习•面对高考基础梳理基础梳理1．等比数列的相关概念及公式相关名词等比数列{an}的相关概念及公式定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于__________，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比．同一个常数相关名词等比数列{an}的相关概念及公式通项公式an＝_______等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成________，那么称G为a、b的等比中项，且有G＝________.前n项和公式Sn＝a1qn－1等比数列±abna1q＝1__________＝a1－anq1－qq≠1思考感悟1．b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，因为当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比，反之，若a，b，c成等比，则必有b2＝ac.2．等比数列的性质(1)等比数列{an}满足________________时，{an}是递增数列；满足_________________时，{an}是递减数列．a1>0q>1或a1<00001(2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积____．特别地，若项数为奇数时，还等于______的平方．(3)对任意正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q，则___________.特别地，若m＋n＝2p，则________.相等中间项am·an＝ap·aqa2p＝am·an思考感悟2．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝aqn＋b(a，b∈R)，{an}是等比数列，则a，b满足的条件是什么？提示：a＋b＝0.当公比q≠1时，Sn＝a11－qn1－q可变形为Sn＝－a11－qqn＋a11－q，令a11－q＝m，上式可写成Sn＝－mqn＋m.课前热身1．在等比数列{an}中，a5＝3，则a3·a7等于()A．3B．6C．9D．18答案：C2．(2011年南阳调研)设a1＝2，数列{an＋1}是以3为公比的等比数列，则a4的值为()A．80B．81C．54D．53答案：A3．(2010年高考重庆卷)在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8答案：A4．(教材习题改编)设{an}是等比数列，a1＝2，a8＝256，则a2＋a3＝________.答案：125．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，则Sn＝________.答案：2n－1考点探究•挑战高考考点突破考点突破等比数列的判定及证明证明一个数列是等比数列的方法主要有两种：一是利用等比数列的定义，即证明an＋1an＝q(q≠0，n∈N＋)；二是利用等比中项法，即证明a2n＋1＝anan＋2≠0(n∈N＋)．在解题中，要注意根据欲证明的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结论．判断一个数列不是等比数列只需举出一个反例即可．例例11(2009年高考全国卷Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．【思路点拨】本题第(1)问将an＋2＝Sn＋2－Sn＋1代入可以得到an的递推式，再由bn＝an＋1－2an代入即证；第(2)问将bn的通项公式代入bn＝an＋1－2an，可得an的递推式，再依照题型模式求解即可．【解】(1)证明：由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知等比数列{bn}中b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1，于是an＋12n＋1－an2n＝34，因此数列{an2n}是首项为12，公差为34的等差数列，所以an2n＝12＋(n－1)×34＝34n－14，所以an＝(3n－1)·2n－2(n∈N＋)．【误区警示】本题的求解过程有两个常见的思维错误：(1)没有注意到题目形式特点，将an＝Sn－Sn－1直接代入，从而出现下标的混乱．(2)得到递推式an＋1－2an＝3×2n－1后，不会转化成等差数列an＋12n＋1－an2n＝34求解，只是看到等式右边是一个等比数列的形式，可以求和，于是结合平时的做题经验，企图利用叠加法求和，使计算繁琐且不能成功．等比数列中基本量的计算等比数列基本量的计算是等比数列中的一类基本问题，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，...
