第五节数列的综合应用第五节数列的综合应用考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理基础梳理1．数列与其他章节的综合题数列综合题，包括数列知识和指数函数、对数函数、不等式的知识综合起来．另外，数列知识在复数、三角函数、解析几何部分也有广泛的应用．(1)对于等差数列：____________________________，当d≠0时，an是n的一次函数．对应的点(n，an)是位于直线上的若干个点．当d>0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d<0时，函数是减函数，对应的数列是递减数列．an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2＋qn(p，q∈R)．当p＝0时，{an}为常数列，当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．(2)对于等比数列：___________.可用指数函数的性质来理解．当a1>0，q>1或a1<0,00,01时，等比数列是递减数列．当q＝1时，是一个常数列．当q<0，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．an＝a1qn－12．数列的探索性问题探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现，探索性问题对分析问题、解决问题的能力有较高的要求．3．等差数列与等比数列的综合问题4．数列的实际应用现实生活中涉及_________、_________、_________、_________、_________、__________、_________等实际问题，常常考虑用数列的知识来加以解决．银行利率企业股金产品利润人口增长工作效率图形面积曲线长度课前热身课前热身1.数列{an}是公差不为0的等差数列且a7、a10、a15是等比数列{bn}的连续三项，若等比数列{bn}的首项b1＝3，则b2＝________.答案：52．(2011年盐城质检)设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则a2a1等于________．答案：33．随着计算机技术的迅猛发展，电脑的价格不断降低，若每隔4年电脑的价格降低三分之一，则现在价格为8100元的电脑12年后的价格可降为________．答案：2400元4．已知等比数列{an}，a1＝3，且4a1、2a2、a3成等差数列，则a3＋a4＋a5等于________．答案：84考点探究·挑战高考等差、等比数列的综合问题考点突破考点突破等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．例例11(2011年苏州高三调研)已知数列{an}满足:a1＝1，a2＝a(a>0)．数列{bn}满足bn＝anan＋1(n∈N*)．(1)若{an}是等差数列，且b3＝12，求a的值及{an}的通项公式；(2)若{an}是等比数列，求{bn}的前n项和Sn；(3)当{bn}是公比为a－1的等比数列时，{an}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．【思路分析】(1)由基本量运算可得结果；(2)讨论a＝1和a≠1两种情况；(3)利用等比数列的定义判断．【解】(1) {an}是等差数列，a1＝1，a2＝a，∴an＝1＋(n－1)(a－1)．又 b3＝12，∴a3a4＝12，即(2a－1)(3a－2)＝12，解得a＝2或a＝－56. a>0，∴a＝2.∴an＝n.(2) 数列{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a(a>0)，∴an＝an－1.∴bn＝anan＋1＝a2n－1. bn＋1bn＝a2，∴数列{bn}是首项为a，公比为a2的等比数列．当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝aa2n－1a2－1＝a2n＋1－aa2－1.(3)数列{an}不能为等比数列． bn＝anan＋1，∴bn＋1bn＝an＋1an＋2anan＋1＝an＋2an，则an＋2an＝a－1.∴a3＝a－1.假设数列{an}能为等比数列．由a1＝1，a2＝a，得a3＝a2. a2＝a－1，∴此方程无解．∴数列{an}一定不能为等比数列．【名师点评】本题中对字母a分类讨论，这也是等比数列不同于等差数列的情形．等比数列含参数往往需要讨论．互动探究1本例(3)中“公比a－1”改为“a”,则第(3)问结果如何？解：由例(3)知a3＝a，∴a2＝a，∴a＝0或a＝1.当a＝0时，an＋2an＝0不能成等比数列；当a＝1时，an＋2an＝1，即an＋2＝an，同时a1＝a2＝1，所以此时{an}能构成等比数列．数列与函数、不等式的综合应用涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论...
