第十二节函数与方程第十二节函数与方程教材面面观1．一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即________，则α叫做这个函数的________．2．方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的概念可知，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与________的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根⇔______________________⇔函数y＝f(x)有零点．答案f(α)＝0零点答案x轴函数y＝f(x)的图象与x轴有交点3．如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象________，并且在它的两个端点处的函数值________，即________，则这个函数在这个区间上，________有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使________．如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为________．4．二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在的区间_____，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到______的方法叫做二分法．答案不间断异号f(a)f(b)＜0至少f(x0)＝0变号零点答案一分为二零点近似值考点串串讲1．函数的零点(1)由方程的根与函数的零点的关系可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的零点，也就是求函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．这样，就将方程f(x)＝0、函数y＝f(x)及函数y＝f(x)的图象三者有机地结合了起来，体现了“转化与化归”和“数形结合”的数学思想．一般地，对于那些不能用公式法求根的方程f(x)＝0来说，可以将方程f(x)＝0与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的图象和性质找出零点，从而求出方程的根．(2)为解决方程f(x)＝g(x)的有关解的个数或求参数的取值范围等问题，我们将方程的根与函数的零点的关系进一步推广为：方程f(x)＝g(x)有实数根⇔函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点．由此知，求方程f(x)＝g(x)的实数根就是确定函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标，而方程f(x)＝g(x)的实数根的个数可根据两函数图象的交点个数来判断．(3)一次函数的零点：对于一次函数y＝ax＋b(a≠0)，不论a＞0还是a＜0，方程ax＋b＝0都有唯一的实数根－ba，相应地，一次函数y＝ax＋b的图象与x轴的交点的横坐标为－ba，所以一次函数y＝ax＋b(a≠0)有且只有一个零点－ba.2．二次函数的零点与一元二次方程的根一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根也称二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点，设一元二次方程的判别式为Δ＝b2－4ac.当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，从而二次函数有两个相异零点，二次函数图象与x轴“相交”；当Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根，从而二次函数有两个相同零点(可称为二重零点)，二次函数图象与x轴“相切”；当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根，从而二次函数没有零点，二次函数图象与x轴没有公共点．二次函数的零点：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其零点个数可根据一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式来确定，具体情形如下表：3.判定函数零点的存在如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，因此，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意(1)y＝f(x)必须在[a，b]上是连续的，否则结论不一定成立．如f(x)＝1x，c＝f(－1)·f(1)≤0，但是f(x)＝1x在(－1,1)没有零点．(2)当f(a)·f(b)＜0时，在(a，b)内至少有一个零点(也可能存在多个)．(3)当y＝f(x)在(a，b)内有零点不一定使f(a)·f(b)＜0，特别是当f(a)·f(b)＞0时不能肯定在(a，b)无零点．4．二分法(1)二分法步骤第一步在D内取一个闭区间[a0，b0]⊆D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)＜0.零点位于区间[a0，b0]中．第二步取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的坐标为x0＝a0＋12(b0－a0)＝12(a0＋b0)．计算f(x0)和f(a0)，并判断：①如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；②如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0；③如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.第三步取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为x1＝a1＋12(b1...
