章末整合反馈等差数列的前n项和公式可写成二次函数Sn＝an2＋bn，(a，b为常数)，因此可利用函数思想处理数列问题，但应注意其定义域是正整数．误区一忽视数列图像特征致误已知数列{an}是递增数列，对任意的n∈N＋都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是()A.－72，＋∞B．(0，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－3，＋∞)【错解】an＝n2＋λn＝n＋λ22－λ24，对称轴n＝－λ2，当n≥1时为递增数列，则－λ2≤1，从而λ≥－2，故选C.【错解分析】审题不清，盲目利用二次函数的单调性，忽视了“恒成立”的条件．【正解】法一： {an}是递增数列，∴an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn.∴λ>－2n－1对n∈N＋恒成立，而{－2n－1}是递减数列，在n＝1时取到最大值－3，故λ>－3，故选D.法二： an＝n2＋λn＝n＋λ22－λ24，对称轴n＝－λ2，当n≥1时为递增数列，如图只要－λ2<32，即λ>－3，故选D.【答案】D利用等差数列{an}的性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq”可以把an与Sn结合起来，这是解决等差数列问题的有效方法．误区二错用等差数列的性质致误已知Sn，Tn分别是两个等差数列{an}、{bn}的前n项和，且SnTn＝7n＋23n－2，求a10b10.【错解】a10b10＝a1＋a9b1＋b9＝S9T9＝7×9＋23×9－2＝135.【错解分析】错用等差数列的性质“若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，则an＋am＝2ap”．【正解】a10b10＝2a102b10＝a1＋a19b1＋b19＝S19T19＝7×19＋23×19－2＝2711.定义法：an＋1an＝q(q是不等于0的常数，n∈N＋)⇔数列{an}是等比数列；也可用anan－1＝q(q是不等于0的常数，n∈N＋，n≥2)⇔数列{an}是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同．误区三等比数列的概念不清致误已知{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0，则此数列的通项公式为________．【错解】 (n＋1)a2n＋1－na2n＋anan＋1＝0，∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0，又an>0，故(n＋1)an＋1－nan＝0，即an＋1an＝nn＋1.∴{an}是以1为首项，以nn＋1为公比的等比数列，于是an＝nn＋1n－1.【错解分析】错误原因在于将满足an＋1an＝nn＋1的数列误以为是等比数列，等比数列中q必须是常数，而nn＋1显然不是常数．【正解】 (n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0，∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0，又an>0，故(n＋1)an＋1－nan＝0，即an＋1an＝nn＋1.∴an＝n－1nan－1＝n－1n·n－2n－1·…·23·12·1＝1n.【答案】an＝1n对于一般数列的求和，通常化归为等差数列或等比数列求和公式的形式；对于非等差数列、非等比数列的求和就要具体问题具体分析了．由于数列求和的方法是由通项公式决定的，因此，从寻找数列的通项公式入手，通过研究它的特点确定使用的方法是解决求和问题的关键．误区四奇数项和偶数项考虑不周而致误一个数列{an}，当n为奇数时，an＝5n＋1，当n为偶数时，an＝2n2，求这个数列的前n项之和．【错解】 a2k＋1－a2k－1＝[5(2k＋1)＋1]－[5(2k－1)＋1]＝10，a2k＋2a2k＝22k＋2222k2＝2，∴a1，a3，…，a2k＋1构成首项为6，公差为10的等比数列，a2，a4，…，a2k构成首项为2，公比为2的等差数列，∴Sn＝S奇＋S偶＝n6＋5n＋12＋21－2n1－2＝52n2＋72n＋2n＋1－2.【错解分析】在求和时，将奇数项和偶数项都假设是含n个项，所以结果显然是错误的．【正解】 a2k＋1－a2k－1＝[5(2k＋1)＋1]－[5(2k－1)＋1]＝10，a2k＋2a2k＝22k＋2222k2＝2，∴当n＝2m(m∈N＋)时，a1，a3，…，a2m－1构成首项为6，公差为10的等差数列，a2，a4，…，a2m构成首项为2，公比为2的等比数列．此时，Sn＝6m＋mn－12·10＋21－2m1－2＝54n2＋n2＋2n2＋1－2.同理可得，当n＝2m－1(m∈N＋)时，Sn＝6m＋mm－12·10＋21－2m－11－2＝54n2＋3n＋2n＋12－14.对于数列的综合应用题，知识的考查方法可以创新，问题的背景可以改变，但所考查的知识点不会改变．因此在备考中要注意对概念的深入理解、公式的灵活应用及常用方法的透彻把握．误区五数列应用题审题不清致误一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的...
