第四节二倍角的正弦、余弦、正切知识自主·梳理最新考纲1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能正确运用二倍角公式进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式证明．高考热点以三角函数求值、化简与证明为载体，考查二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用.1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝；(2)cos2α＝＝－1＝1－；(3)tan2α＝2tanα1－tan2α2sinαcosαcos2α－sin2α2sin2α2cos2α2．半角公式(1)sinα2＝；(2)cosα2＝；(3)tanα2＝＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.3．方法技巧(1)二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α＝；＝；3α＝都适用．(2)由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；升幂公式cos2α＝＝.2·2α2cos2α－11－2sin2α对于公式，学生往往只注意到公式的正用，而忽视了公式的逆用和变形使用．复习中应引导学生练习公式的逆用和变形使用，记住以下公式的变形式，无疑是十分有益的．重点辨析方法规律·归纳例1求下列各式的值．(1)cot10°－4cos10°；(2)4cos235°－cos170°－tan160°sin170°.[分析]给出的都是非特殊角，想方设法化为特殊角或非特殊角互相抵消或约分求值．题型一化简求值的问题思维提示①灵活运用两角和与差、二倍角公式②注意化非特殊角为特殊角[解](1)原式＝cos10°sin10°－4cos10°＝cos10°－4sin10°·cos10°sin10°＝cos10°－2sin20°sin10°＝cos10°－2sin(30°－10°)sin10°＝cos10°－2sin30°·cos10°＋2cos30°·sin10°sin10°＝3sin10°sin10°＝3.(2)原式＝2(1＋cos70°)＋cos10°＋tan20°sin10°＝2＋2cos70°＋cos(20°－10°)cos20°＝2＋2cos70°cos20°＋cos10°cos20°＝2＋cos50°＋cos10°cos20°＝2＋cos(30°＋20°)＋cos(30°－20°)cos20°＝2＋2cos30°cos20°cos20°＝2＋2cos30°＝2＋3.[规律总结]给角求值的一般步骤是切化弦，再通分，利用分解配凑角等手段，创设利用和(差)的正弦、余弦公式，使其相消或相约去非特殊角的三角函数，从而使问题获解，要注意灵活正用、逆用、变形使用公式.备选例题1求值：(1)1sin10°－3cos10°；(2)sin6°sin42°sin66°sin78°.(2)原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝24sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°24cos6°＝23sin12°cos12°cos24°cos48°24cos6°＝22sin24°cos24°cos48°24cos6°＝2sin48°cos48°24cos6°＝sin96°24cos6°＝cos6°24cos6°＝116.题型二给值求值问题思维提示注意分析已知角与所求角之间的内在联系例2(2010·皖南八校联考)已知cos2θ＝725，π2＜θ＜π.(1)求tanθ；(2)求2cos2θ2－sinθ2sin(θ＋π4).[分析](1)先用二倍角公式求出sinθ、cosθ，再用函数关系求解；(2)用(1)的结论代入求解．[解](1)由cos2θ＝725，得1－2sin2θ＝725，sin2θ＝925. π2＜θ＜π，∴sinθ＝35，cosθ＝－45，∴tanθ＝sinθcosθ＝－34.(2)2cos2θ2－sinθ2sin(θ＋π4)＝cosθ＋1－sinθsinθ＋cosθ＝－45＋1－3535－45＝2.[规律总结]对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“目标角”变换成“已知角”．若角所在的象限没有确定，则应分类讨论，应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要会通过分析“目标角”与“已知角”之间的关系，灵活拆角或拼角.备选例题2(2010·郑州调研)已知sinx2－2cosx2＝0.(1)求tanx的值；(2)求cos2x2cos(π4＋x)·sinx的值．(2)原式＝cos2x－sin2x2(22cosx－22sinx)sinx＝(cosx－sinx)(cosx＋sinx)(cosx－sinx)sinx＝cosx＋sinxsinx＝cotx＋1＝(－34)＋1＝14.[分析]可以从角入手，化复角为单角利用升幂公式；也可以从函数名称入手，化异名为同名．题型三三角函数式的化简、三角恒等式的证明思维提示①化繁为简②左右归一或变更论证[解]解法一：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2αsin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－12＝sin2αsin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－12＝sin2β＋cos2...
